改善案：パラメトリック統計モデル

Mを次のような圏とする。

• Mはハウスドルフ位相空間の圏への構造忘却関手を持つ。
• Mは可測空間の圏への構造忘却関手を持つ。
• Mの対象のσ代数は、その位相のボレル集合族である。
• Mの対象には、標準測度と呼ばれる測度が載っている。標準測度は、有界〈有限〉である必要はない。測度無限大の可測集合があってもよい。

Mの対象を A = (A, O_A, Σ_A, Λ_A) と書く。Aは台集合、O_Aは位相（開集合族）、Σ_Aはσ代数だが、Σ_A = Borel(O_A)。Λ_AはΣ_A上の測度。

ここらへんの話は、

• 心が安らぐ「分布の空間」を定義してみる - 檜山正幸のキマイラ飼育記

M上に3種のジリィ・モナドが作れるとする。ただし、相対モナドになりそう。

1. G(-) ： 有界〈有限〉測度からなる集合＋可測構造。G:M→Meas
2. G_≦1(-) ： 劣確率測度からなる集合＋可測構造。G_≦1:M→Meas
3. G₁(-) ： 確率測度からなる集合＋可測構造。G₁:M→Meas

それぞれにクライスリ圏が作れる。クライスリ圏をStoch（stochasticから）とする。Stockを作るためのモナドは目的に応じて適宜選択。

Pをパラメータ領域の圏で、対象はユークリッド空間の開集合、射は適当なrに対するC^r写像とする。ヘットセットModelを次のように定義する。

• Model(Θ, X) := Map(Θ, G₁(X))

Model(Θ, X)に対して、

• P(Ξ, Θ)×Model(Θ, X)→Model(Ξ, X)
• Model(Θ, X)×Stoch(X, Y)→Model(Θ, Y)

が定義できるので、Model(-, -)はプロ関手（斜め圏）になる。豊饒プロ関手になってくれると嬉しいが、現状よくわからない。

とりあえず、Modelは、左からパラメータの圏が反変に作用し、右から確率核（マルコフ核）の圏が共変に作用する集合値双加群〈set-valued bimodule〉になる。

この枠内で、推定量〈推定子 | estimator〉などを定義したい。

推定子は学習関数と同じなので、なんらかのデータ空間から仮説空間＝モデル空間への写像。データ空間の構成には、変量＝確率変数が必要。変量の分布に対して、独立同分布族を作る。独立同分布族の値空間の直積がデータ空間。データ空間＝観測空間からパラメータ空間≒モデル空間への写像が推定量。

ヘテロスパンとしての母集団を余複射とする余複圏ができるが、それと{確率 | 統計}モデルの斜め圏〈プロ関手 | 双加群〉の関係がイマイチわからん。