本編、多様体記事への補足
チャート＝局所座標は部分写像として定義するつもりだが、部分写像の圏のホムセット Partial(X, Y) がある種のミート半束になるのが重要。
部分的に定義されたミート半束構造を考えて、a∧b が定義されるとき、a∧b↓ と書く。また、a∧b↓ と a ‖ b を同義とする。
- a∧b↓ ⇔ a ‖ b
定義される範囲内で、∧はミートの公理を満たす。
- (a∧b)∧c = a∧(b∧c)
- a∧b = b∧a
- a∧a = a
- 0∧a = 0
a ≦ b :⇔ a∧b = a と定義すると、順序集合になる。ホムセットが部分ミート半束になるような圏がたぶん必要。
それで、ホムセットに反転可能性〈convertible〉が定義できて、反転が部分的な転置オペレーターになるのだろう。チャートは反転可能射になる。
ホムセットの反転可能部分と部分ミート半束構造の兼ね合いがたぶん重要。
理論構成（流れ）としては、チャート／アトラスが第一義的ではない。別な言い方をすると、チャート／アトラスが多様体を定義するための“構造素材”ではない。「適切なチャート／アトラスを持つ」という“性質”により多様体を定義する。
多様体の開集合で扱いやすいのは座標近傍だが、これはアフィン開集合とかユークリッド開集合というほうがピッタリだと思うが。が、アフィンにしろユークリッドにしろ、アフィン空間／ユークリッド空間の開集合と誤解されてしまう。アフィン開集合は使い勝手がいい言葉なんだけどなー。今ここでは使うことにする。
アフィン開集合〈座標近傍〉はOpen(M)の部分集合AffOpen(M)で、次の性質を持つ。
- U, V∈AffOpen(M) ⇒ U∩V∈AffOpen(M)
- 任意の W∈Open(M) に対して、適当な族 F⊆AffOpen(M) があって、∪(F) = W となる。
言い方を変えると、
- アフィン開集合の共通部分はアフィン開集合である。
- 任意の開集合は、アフィン被覆を持つ。
Xが位相空間のとき、C(X)はXからRへの連続関数の全体とする。C(X)には可換環（より詳しくはR係数の可換代数）の構造が入る。この環を、X上の連続関数環と呼ぶ。局所的な（文脈付きの）用語だが、C(X)の部分環を、X上の関数環と呼ぶ。
Open(X)上の前層で、開集合Uに対する値が関数環であるもの（だけ）を考える。関数環の前層は自然に層になる。関数環層と呼ぶ。位相空間に関数環層が付いた構造を関数環付き空間と呼ぶ。環付き空間を少し具体化したやつ。
ユークリッド空間とユークリッド空間の開集合は、C∞(U)として関数環付き空間になる。このタイプの関数環付き空間の圏が、なめらかなユークリッド領域の圏になる。「なめらかな」は、位相空間の性質ではなくて、関数環層の性質。
関数環付き空間が、局所的になめらかなユークリッド領域と同型（関数環付き空間として）なときがなめらかな多様体で、関数環付き空間としての同型を与える射がチャートになる。
ユークリッド領域と同型なM上の開集合がアフィン開集合。なんか用語に整合性がないなー。アフィン開集合の全体は、先の公理を満たす。
いちおう層の公理を書いておく。
- S(∅) = 自明環
- V⊆U （inclV,U）に対して、resU,V:S(U)→S(V)
- 上記で決まる対応が関手になっている。
- 貼り合わせ〈gluing〉条件を満たす。
制限〈restriction〉と貼り合わせに関して、先の部分ミート半束構造が便利なのではないかと思う。それと反転〈converse〉作用素ね。
それと（話がいろいろ飛ぶが）、多変数関数（値はR）はオペラッド構造を持つだろう。古典的計算て、オペラッド計算している感じだ。オペラッドのタプル計算かな。
層で面白いのは、可測空間の圏での測度の前送りと状況が似ていること。f:X→Yが連続写像だと、Open(Y)→Open(X) が誘導されて、この開集合の引き戻しで、X上の層がY上に前送りされる。測度の前送りと、層の前送りがとても似てる。
f:X→Y に対して、f*:Open(Y)→Open(X) と f*:Sh(X)→Sh(Y)。これが、f:X→Y に対して、f*:Σ(Y)→Σ(X) と f*:G(X)→G(Y) と似てる、Gはジリィモナド。
ということは、Sh(-)ってモナド？ いやモナドのはずはないから相対モナドか。X→Sh(X) が米田埋め込みか。あああー、米田相対モナドか。それで、Open(X)を圏とみなすのか。Xを埋め込むのではなくて、Open(X)をSh(X)に埋め込むわけね。Open(X)だと極限対象が存在しないこともあるから、茎を考えると、点を埋め込む感じになる。
