初歩的圏の範囲で対応をとってみる。 ＼ 古典計算 量子計算 メモリサイズ n ビット n キュービット 圏の対象 [n] [n] 状態空間 {0, 1}の直積 C2 のテンソル積 モノイド積 集合の直積 ベクトル空間のテンソル積 モノイド単位 単元集合 スカラー 否定 0と1の交…

すごく簡単になった、ユニタリ対応 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ユニタリ対応の定式化はすごく簡単になった。普通の線形代数だけでOK。 普通の線形代数でも、復習しないとすぐ忘れるので、書いておこう。[追記]こりゃダメだ。勘違い、間違っている。…

紆余曲折があったが、ユニタリ対応の定式化はすごく簡単になった。普通の線形代数だけでOK。だが、ちゃんとSpanを使った定式化の痕跡が残っているのがうれしい。ユニタリ対応の例として直交射影を考察したが、直交射影は事例ではなくてユニタリ対応の本質。…

なんかうまくいきすぎて不気味つうか、なんか勘違いしてないか不安だ。変な感じがするのは、長さが定義できないのに等長埋め込みのように振る舞うとか。長さに関しては、内積が対称なら (x|x)を（平方根を取らないで）ノルムのように扱える。(x|x) = ≪x≫ と…

なるべく双対空間を使った定式化にしようとしてたら、細かい点が色々と気になりだした。まず、そもそも双対空間の定義； 標準的にU* = L(U, K) とするのが分かりやすいが、対称性に欠ける。スカラー値のペアリングを備えた2つの空間U, Wとする方法もあるが、…

JavaScriptのBoolean仕様にあきれつつ、線形代数も考えてみた。ユニタリ対応の圏は圏論的に作るとスマート。Span(UEmb)とCosp(URet)まではキレイに作れる。だが、Span(UEmb)とCosp(URet)を貼り合わせるところは、いまいちクリアになってない。ユニタリ対応を…

用語法がややこしいからまとめておく。 係数体 内積 ベクトル空間 内積保存変換 実数 ユークリッド内積 ユークリッド空間 直交変換 複素数 エルミート内積 ヒルベルト空間 ユニタリ変換 実数 ミンコフスキー内積 ミンコフスキー空間 ローレンツ変換 けっこう…

http://en.wikipedia.org/wiki/Potts_model では、1次元ポッツ模型が記号力学で定式化できるようなことが書いてある。

テンパリー／リーブ代数がポッツ模型（Potts model）と関係するらしい。カウフマンの解説はイイカゲンらしいが、それでも面白い。よく分かってないが、ともかくもメモしておく。分配関数Z(G)平面無向単純グラフGを考える。Gが単純とはループも多重辺も持たな…

時計の短針・長針が直角になるのはいつか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) これの話。Tをニュートン流の“時間の空間”とする。Tは図形的には直線だが物理次元を持つ。Tを12時間で割った T/12h = T12 を考える。これは図形的には円周S1だが、あくまで…

物理で、2粒子A, Bがあるとき、Aの状態空間（ヒルベルト空間）とBの状態空間のテンソル積をとるのはなんでだろう？ 直和じゃなんでダメ？ とずっと思っていたが、これは、「物理的時空 ⇔ 遷移系の状態空間」という対応で考えるからで、この対応がそもそもオ…

平行移動＝接続は、「静止」「変化しない」などを表現する手段だが、かといって、すべての接続が静止しているわけではない。どんな滅茶苦茶な接続でも定義はできる。接続が静止性／不変性を表現しているのは曲率がないときだけど、曲率＝強さ＝力だった。と…

あー、やっぱり。ゲージ群とゲージ変換群を区別してない用例発見。ゲージ群は束の構造群であり、リー群として前もって定まる抽象群（必ずしも作用じゃなくてもいい）。それに対して、ゲージ変換は与えられた束の自己同型束＝ファイバーごとのファイバー自己…

少しだけわかった気分。配位空間の接束である相空間を、基本の空間Mとする。この相空間Mの勝手な運動が配位空間の運動に対応はしないが、そのへんはどうでもいいとする。M上にアフィン直線束を考えて、これの切断がスカラーポテンシャルだと思う。1次元アフ…

接続をマクロに書いてみると、束の局所自明化がどんなことか少し理解できる。どんな接続でも、局所的には単純接続＝積束上の接続として書ける必要がある。そうでないと関数概念で記述できないからね。積束上の接続は、適当なゲージ変換で自明接続に直せる。…

接続＝平行移動を代数的に記述するなら共変微分作用素になる。Vがベクトル束、Tが接束のとき、∇:Γ(V)→Γ(V(×)T*)で、次のライプニッツ法則を満たすものが共変微分。 ∇(Af) = (∇A)f + df・A f∈:R、X∈:V、・はテンソル積（かける順序は適当に調整）。この定義は…

物理的な用語法に慣れようとしている。だけど、phaseの訳語が位相なのが困るなー。ほんとに紛らわしい。ナントカ位相と言われてもトポロジーの話なのかフェイズの話なのかサッパリわからん！位相＝フェイズだとしても、フェイズの意味がわからんよ。だいたい…

数と関数、ベクトル空間とベクトル束、群と群束などをあまり区別する必要はない気がしてきた。Mが底空間、Eが束（ファイバーバンドル）のとき、A∈Γ(E)のことを、A∈ME とか、いっそ A∈E と書くと具合がいい。ただし、これはいくらなんでもマズイこともあるの…

ゲージポテンシャルとは接続のことらしい。接続の空間はアフィン空間なので、原点を固定しないとベクトル表示（位置ベクトルの決定）はできない。差にはベクトル的意味があるが、値にはベクトル的意味がない。アフィン空間の量をポテンシャルと呼ぶのは普通…

Title: 単粒子力学上級編 Author: 平田光司 URL: http://beam-physics.kek.jp/bpc/winter.pdf 21ページ、印刷した ファイバーバンドルの説明図にビックリ（カルチャーショック）。なるほど。こんな考え方もあるのかぁーーーー。新鮮。普通は、束座標系＝束局…

シンガー／ソープ本（翻訳）のP.127に「ベクトル解析に関する余談」が載っている。数ページだが、さすがに示唆に富む。

「はじめるかも」に追加して、さらに注意： 枠（標構）の場はゲージだと思ってもよい。 だが、ゲージ（枠）の場はゲージ場ではない。そんなふうに呼ばない！ ゲージ（枠）の場は単にゲージと呼ぶ。 ゲージ場は接続1-形式、または曲率2-形式のこと。 ゲージ場…

とりあえず、例によって用語が気になる。(コピー) ゲージ理論はじめるかも - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 に移動。

区別／使い分けがわからない - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編にて： ハミルトンの原理と最小作用の原理って同じようだが？ 準備： s = s(t)（t = t0からt1）を運動のパラメータ表示とする（配位空間を動く）。(s, s')（s' = ds/dt）は相空間上での軌道（…

早起き (see timestamp)： フェルマーの原理 ハミルトンの原理 最小作用の原理 変分原理 フェルマーは幾何光学で、ハミルトンは（解析）力学か。変分原理はかなり一般的な文脈で使うのかもしれない。が、ハミルトンの原理と最小作用の原理って同じようだが？

量子化の処方箋の一部に、質点を状態関数に置き換えるってのがある。一般に、状態空間、相空間上の点を関数にすることを状態のリフトと呼ぶことにしよう。「状態点→状態関数」と状態概念を一般化すること。状態関数は適当なスカラーKに値をとる。物理なら複…

って分からなかったが、分かるわけないよ！ユークリッドアフィン空間で考えるとして、束縛ベクトルは接バンドル（直積でOK）の元、自由ベクトルは束縛ベクトルの同値類だもん。自由ベクトルは、典型ファイバーの元と考えてもいい。任意に原点をとって、原点…

形式言語の「生成と認識」の関係は、双対とか随伴ではどうもうまく説明できない。斜随伴なんて言葉を造ったりもしたが、自信はない。生成のほうは、初期値を与えて時間発展の半群を考えて、片側S行列を求めるようなハナシだと思う。片側S行列は、グリーン関…

とりとめもなく書く。運動を記述するにあたって、位置xを独立パラメータtの関数 x = x(t) とする方法と、xとtに対してなんかの量の分布 f(x, t) の形にするスタイルがある。f(x, t)が質量分布（密度）だとして、tを固定してのx方向積分が保存していて（時間…

(f*)* = f* ができないのがフラストレーションなんだけど、まー、しばらくこれはあきらめよう。物理の計算もサッパリできない。のだが、もともと僕はこうるさい厳密な計算が好きじゃないから、物理の計算に意外と向いているかもしれない。（さらに）のだが、…