ゲージ理論としての解析力学

少しだけわかった気分。

配位空間の接束である相空間を、基本の空間Mとする。この相空間Mの勝手な運動が配位空間の運動に対応はしないが、そのへんはどうでもいいとする。M上にアフィン直線束を考えて、これの切断がスカラーポテンシャルだと思う。1次元アフィン変換で向きを変えないものを考える。この変換群から平行移動（原点のシフト）を除いたものは正実数の掛け算の群になる。そのリー環は実数直線。

この束の構造群＝ゲージ群は正実数、よって接続は実数値関数で与えられる。この接続関数がたぶんラグランジュ関数。ラグランジュ関数の積分である作用＝作用積分＝ハミルトン積分は、expに入れるとゲージ群の元となるから、接続による有限変換（無限小ではない変換）となる。この有限変換は、ラグランジュ関数の指数関数の積積分と一致する。

作用αが正で最小なら、exp(α)は1に近くなる。exp(α)による変化ができるだけ小さいように道を選ぶと、それが古典軌道。

おそらく一般には、ゲージ群のリー環の空間にうまいノルムが入って、そのノルムの積分が小さくなる道を選ぶことが問題となるのだろう。運動の代わりに写像を考えても同じ。