意外にめんどくさい -- 双対空間
なるべく双対空間を使った定式化にしようとしてたら、細かい点が色々と気になりだした。
まず、そもそも双対空間の定義； 標準的にU* = L(U, K) とするのが分かりやすいが、対称性に欠ける。スカラー値のペアリングを備えた2つの空間U, Wとする方法もあるが、相方の一意性がup-to-isoでしかわからない。まー、それでもいいけど、腰が落ち着かない感じ。選択された双対空間を選ぶ写像をスター関手として定義して、ケリー余単位 ε:U×U*→K で公理化する手もあるが、話が一気に線形テンソル圏までいってしまう。ムーーー。
x∈Uに対して、xで定義されるL(K, V)の元をx#と書くことにする。xとx#の扱いに関して：
- 別物として区別する。
- 同一視する。
- そもそもxを考えないで、x#のことをxと書く。
内積とは非退化双線形形式のことだとして、f:U→Wの双対をf*:W*→U*とする。スター記法として、これは妥当だろう。x#:K→Uがあると、(x#)*:U*→K* が定義できる。もし、xとx#を同一視するなら、(x#)*をx*と書いていい。
(x#)* がどんな写像かというと、K*をKと同一視すれば、x^ である。ここで、(-)^:U→U**は自然な埋め込み。
- (x#)* = x^
がそもそも、K*をKと同一視していいものかどうか？ Kがスカラーなら、K, End(K) = L(K, K), K* は標準的に同型だが、常に同一視していかどうかはわからない。
双対性の定義を、普通にU* := L(U, K)で与えても、スター自己関手と非退化なペアリング（ケリー余単位）で与えても、まー、計算は大差ない。内積の定義は、U上のペアリングとしても、UとU*の同型（可逆線形写像）としても、これも大差ない。
内積を与えるU→U*の同型をΦ=ΦUとかく。Φ*:U**→U*だが、U**をUと同一視すれば、Φ* = Φ となる。Φ(x)をx#と書くことにする。これは、今まで（僕もみんなも）x*と書いたりしていたが、整合性がない、ダメだ。なぜなら、x* = (x#)*と考えれば、x^のことになってしまい、UとU**を同一視すると、xそのものだ。
f∈U*のときは、f# = Φ-1(f)とする。記法 (-)#のオーバーロードがあるが、カンベンしてもらう。
(x|y) = Φ(x)(y) も考慮すると、定義よりただちに：
- x## = x
- f## = f
- x# = (x|-) = λ.(x|y)
となる。U*の内積は、(f|g) = f(Φ-1(g)) で定義する。すると、次が成立する。
- (x|y) = x#(y) = x#・y# （End(K) = K として）
- (f|g) = f(g#) = f・g## （End(K) = K として）
- x#† = (-|x) = λy.(y|x)
- f* = f# （K* = K として）
- f† = (f#)#
