うまくいくなあ、ユニタリ対応

なんかうまくいきすぎて不気味つうか、なんか勘違いしてないか不安だ。変な感じがするのは、長さが定義できないのに等長埋め込みのように振る舞うとか。

長さに関しては、内積が対称なら (x|x)を（平方根を取らないで）ノルムのように扱える。(x|x) = ≪x≫ とでもして、(x|y) + (y|x) = 2(x|Y)を使えば次が出る。

• (x|y) = 1/2[≪x + y≫ - ≪x≫ - ≪y≫] 長さから内積は出る

単射性に関しては、ヌルベクトルがあっても、非退化だけから「内積保存⇒単射」が出るのかもしれない。いや、一応そうなっているのだけど：

すべてのx, yに対して

 (Ax|Ay)  = (x|A†Ay) = (x|y)

を仮定。
すると、すべてのxに対して (x|A†Ay) = (x|y)。

これから、すべてのyに対して (A†A)y = y 。

よって、A†A = I 。

上の推論から、内積保存なAは、対応する引き込みA^†を持つ。引き込みを持つなら単射に決まっている。

(Ax|y) = (x|A^†y) に関しては、(A^†x|y) = (x|Ay) でも同じだから：

 (A†x|y)

 = (Φ-1A*Φx|y)

 = [Φ(Φ-1A*Φ)x]y

 = [(A*(Φx)]y

 = (Φx)(Ay)

 = (x|Ay)

A^†† = A も普通に計算して出るし、、、、

他に確認したことは：

1. ベクトルxがユニタリ⇔x_#がユニタリ埋め込み⇔xが単位ベクトル⇔(x|x) = 1
2. コベクトルfがユニタリ⇔fがユニタリ引き込み⇔fが単位ベクトル⇔(f|f) = 1

あと、W⊆U に対して、W + W^⊥ = U という直交分解がこれまたうまくいく。手順は：

1. Wの包含をJとすると、Jは内積保存なので、ユニタリ埋め込み
2. Jの随伴をRとすると、Rはユニタリ引き込み
3. P = JR とすると、Pは射影
4. Pの像＝Jの像＝Rの像はWで、W上では恒等
5. Pの核=Rの核 はWの直交空間
6. Pは直交射影を与え、WとPの核であるW^⊥で分解できる。

ユニタリ対応としては、PとRを区別しなくていいので、随伴がユニタリである射影はユニタリってことになる。随伴がユニタリの射影はつまり直交射影だから、

• 直交射影はユニタリ

となる。

なんでうまくいくんだ？ いや、うまくいくようにしたつもりではあるが、、、ダガーコンパクト閉圏の1つのモデルを作っているような気もするな。それがうまくいく理由かも。