ゲージ理論と電磁気

「はじめるかも」に追加して、さらに注意：

1. 枠（標構）の場はゲージだと思ってもよい。
2. だが、ゲージ（枠）の場はゲージ場ではない。そんなふうに呼ばない！
3. ゲージ（枠）の場は単にゲージと呼ぶ。
4. ゲージ場は接続1-形式、または曲率2-形式のこと。
5. ゲージ場が接続か曲率かは文脈依存。
6. つまり、ゲージ場とは、ゲージ理論に出てくる主要な場、って程度の意味。
7. ゲージ変換群（無限次元リー群）のリー代数（の元）もゲージ変換と呼ぶ。
8. ゲージ変換は、群の元（有限な変換）かリー代数のベクトル（無限小変換）かハッキリしない。曖昧、文脈依存。
9. ゲージ変換群のリー代数（接空間、無限小変換の空間）は、ゲージポテンシャル＝接続に作用するベクトル空間になっている。
10. ゲージポテンシャル＝接続の空間は、無限小ゲージ変換をベクトル空間とするアフィン空間。

電磁気学だとまた用語が少し違うような（よくわかってない、調べてない）：

物理	微分幾何	電磁気
ゲージ群	主束の構造群	複素位相の変換群U(1)？
ゲージ変換（群）	束自己同型写像	複素波動関数の位相変換関数？
ゲージポテンシャル	接続 1-形式	電磁ポテンシャル、ゲージ場
ゲージポテンシャルのゲージ変換	接続の無限小変換	ゲージ変換
フィールド・ストレングス	曲率 2-形式	電磁場テンソル、ファラデーテンソル
波動関数、状態関数	同伴ベクトル束の切断	複素波動関数

「ゲージ」「ゲージ場」は使わないほうがいいな。枠（標構）場、ゲージポテンシャル（＝接続）、ストレングス（＝曲率2-形式）と言えば混乱は比較的少ない。「ゲージ変換」の多義性は、どう区別するべきかよくわからん。