復習：線形代数 ユニタリ性
すごく簡単になった、ユニタリ対応 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編
ユニタリ対応の定式化はすごく簡単になった。普通の線形代数だけでOK。
普通の線形代数でも、復習しないとすぐ忘れるので、書いておこう。
[追記]
こりゃダメだ。勘違い、間違っている。
以下の議論で、Uに直交分解 X + Y が与えられていると、部分空間Zに X∩X + Y∩Z という分解を誘導するように書いているが、これはウソ。絵を描けば3次元の反例が作れる。どうも安易すぎた。
圏論的な定義に戻って、部分的に定義された線形写像の結合と、部分的線形写像を全域に拡張する方法をちゃんと考えないとダメ。ようするに、部分線形写像の圏を作って、それと全域線形写像、および随伴との関係を調べる。
[/追記]
分解とユニタリ性の定義
まず、ベクトル空間の部分空間による分解の議論。X, Y⊆U として、(X, Y)が分解とは、任意のu∈Uが u = x + y x∈X, y∈Y という形で書けること。X, Yで生成される空間を＜X∪Y＞ = X∨Y として、X∨Y = U とも書ける。この加法分解が一意的のとき(X, Y)を一意分解と呼ぶ。
- (X, y)が一意分解 ⇔ X∩Y = {0}
一意分解を仮定して、u∈X∩Yを分解してみる。u = u + 0 （u∈X） という分解を持つ。同様に、u = 0 + u （u∈Y）。分解は一意だから (u, 0) = (0, u) 、つまり u = 0。
逆向き； u = x1 + y1 = x2 + y2 と分解できたとして、x1 - x2 = -(y1 - y2)、x1 - x2 をzと置くと、z∈X, -z∈Y だが、z∈Y でもあるから、z∈X∩Y。仮定からz = 0。つまり、x1 - x2 = 0, y1 - y2 = 0、x1 = x2, y1 = y2なので、分解は一意的。
- (X, Y)がUの分解だとして（一意じゃなくてもいい）、Zを第3の部分空間とする。このとき、(X∩Z, Y∩Z) はZの分解となる。
これはウソ。
これ↑は、後で。（今、調子悪い）。(X, Y)が最初から一意でもいい。
上の補題は、P:U→W, Q:W→Zがユニタリなとき、結合（合成）P;Qがユニタリであることを示すのに使う。
そもそもユニタリの定義を述べてなかった。Pがユニタリとは Ker(P)⊥ ≡ Im(P)であること。ここで、(-)⊥は直交補空間、≡は内積同型。
問題は Ker(P)⊥ ≡ Im(P)、Ker(Q)⊥ ≡ Im(Q)のとき、Ker(P;Q)⊥ ≡ Im(P;Q) を示すこと； Ker(P;Q)はP←(Ker(Q)) である（上付き←は逆像）。W上に、(Ker(Q), Ker(Q)⊥)という直交分解があるが、これをP←で引き戻したい。そのとき、(Ker(Q)∩Im(P), Ker(Q)⊥∩Im(P)) がIm(P)の直交分解を与えているなら、Im(P)はKer(P)⊥と同型だから、Ker(P)⊥内に直交分解が誘導される。
これはウソ。
誘導された分解は、(P←(Ker(Q)), P←(Ker(Q)⊥))、問題はP←(Ker(Q)⊥)のほうで、これがIm(Q)と内積同型なことを示す必要がある。だが、Im(Q)→Ker(Q)⊥、Ker(Q)⊥∩Im(P)→Ker(P)⊥ という同型を繋げばよい。
これはウソ。
内積保存なら単射であること
随伴に関して次が基本的に重要：
- (A†x|y) = (x|Ay)
- A†† = A （適当な同一視のもとで）
これを使って、次が示せる。
- A:U→Wが内積保存 ⇔ A†A = IdU
随伴の定義を展開して計算すればよい。これからAが単射でA†が全射だとわかる。
直交補空間が一意分解を与えること
X⊆Uだとして、Xの包含写像をJとする。P = J†とする。直前の定理から、PJ = IdX。K = Ker(P)とする。このKがX⊥と一致することを示す。
まずy∈Kだとして、任意のx∈Xに対して、(x|y) = (Jx|y)（x∈XならJx = xだから）。(Jx|y) = (x|Py)（Pの定義）。y∈K, K = Ker(P) を思い起こせばPy = 0、したがって(x|Py) = (x|0) = 0。任意のx∈Xに対して(x|y) = 0 なのだからx∈X⊥。
逆にy∈X⊥を取る。任意のx∈Xに対して(x|y) = 0。ところで、(x|y) = (Jx|y) = (x|Py) だから、任意のx∈Xに対して (x|Py) = 0、非退化性より Py = 0、y∈Ker(P)。
X∩X⊥ = {0} の代わりに X∩K = {0}を示す； x∈Kだとすると、Px = 0、一方PはX上では恒等だから、x∈XならPx = x。よって x = 0 。
