質点と場

とりとめもなく書く。

運動を記述するにあたって、位置xを独立パラメータtの関数 x = x(t) とする方法と、xとtに対してなんかの量の分布 f(x, t) の形にするスタイルがある。

f(x, t)が質量分布（密度）だとして、tを固定してのx方向積分が保存していて（時間によらずに定数）、fの値が0でない所（台）が十分小さいなら、f(x, t)をx(t)の形で書き換えられる。ということであれば、f(x, t)のスタイルのほうが一般性があるだろう。

さらに、xの時間微分を独立量と考えて、f(x, v, t)とかf(p, q, t)とかにすれば扱いやすい。幾何学的には、配位空間の接バンドルか余接バンドル上で考えることになる。

といったことを離散化して、DFD（離散場の力学）の定式化としたいわけだが、離散化した状況では、最初から接バンドル上の場の形式をしていて、むしろ質点描像がむずかしい。オートマトンの状態遷移関数δ(s, a)は、接バンドル上のベクトル場＝運動方程式に近いものである。最適化問題などでは、ラグランジュ関数のようなものが先に与えられるし。

力学では、配位空間や相空間の関数を道の空間に持ち上げることができ、もとの空間と道の空間との関係を云々できる。同様に、離散状態空間上に終状態かどうかを調べる真偽値関数を、語（列）の空間に持ち上げることができて、それが言語（語の空間の部分集合）の特性関数になったりする。もっと自由にかつ一般的に、状態空間（または相空間＝状態空間×アルファベット）上の関数と、語の空間の上の関数の関係を議論すると面白そうだ。