時計から円周パンドルとゲージ理論

• 時計の短針・長針が直角になるのはいつか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

これの話。

Tをニュートン流の“時間の空間”とする。Tは図形的には直線だが物理次元を持つ。Tを12時間で割った T/12h = T₁₂ を考える。これは図形的には円周S¹だが、あくまでも時間と考えてT₁₂と書く。

アナログ時計の文字盤は、ほんとに空間的な存在だからS¹とする。これに働く回転群はU(1)。U(1)のS¹への作用は自明。

さて、時計の目盛りや針（短針でも長針でも）は、T₁₂→S¹だが、T₁₂上のS¹バンドルを考えてそのセクションだと考える。つまり、写像のグラフをトーラス上に描くことにする。t∈T₁₂として、短針の運動θ(t)、長針の運動φ(t)などはバンドルのセクションである。定数セクションが目盛り（文字盤上を動かない）になる。

短針から見ての長針の運動（φ(t) - θ(t)と書いてもいい）は、θをゲージとしての運動φの記述となる。12時の目盛りをσ(t)（ = 定数）とすると、標準的ゲージがσだが、θをゲージにして悪い理由はない。σゲージからは長針は半日に12回転し、θゲージからは11回転に見える。つまり、長針の回転数はゲージ不変な量ではない。

どんな目盛りでもどんな短針でも、とにかく等速回転運動してる限りはゲージ（フレームの場）として使える。そのとき、２つのゲージのあいだの変換はU(1)値のセクションであり、これは局所的な回転変換の集まりとみなせる。

等速ではなく、12時間周期の運動をする“針”があるとき、その加速度はゲージ不変な量のはずだ。ただし、加速度の方向はS¹から外に向かうから、S¹のベクトルとしては観測できない。S¹上のスカラーとして観測される。