関連するエントリーは次： (仮称)一様性二重圏 セリンガーのND補題 一様性を持つ部分トレース付き圏の周辺 一様性を持つ部分トレース付き圏（partially traced category with uniformity） 一様性原理 次の言葉を使う。 一様射（uniform morphism）セリンガ…

本編のほうでホッピングボール・マシンの話を書き出した。これは、境界付き遷移系でラベル（アクション名）集合が単元に退化した例。加法モノイドNを圏と見なしての境界付きカテグラフだとも言える。全体として、モノイド構造を持った初歩的圏になるように細…

RとΩは半環。RからΩへの縮約と呼ばれる半環射χがあるとする。具体例としては、R=N、Ω={0, 1}、χ(0) = 0, それ以外はχ(n) = 1とする。R係数の行列A、Bがあるとする。A∈MatR(n, m), B∈MatR(k, l)。P∈MatΩ(n, k), Q∈MatΩ(m, l)の組(P, Q)を考える。RからΩへの縮…

本編に書いた整数の加減乗除のなかにもひそんでいるヤン・バクスター方程式 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)、ほんとにできないよ。時間を使ってもしょうがないから早々とあきらめているのだけど。使えることって： (x/N)N + x%N = x (x*N)%N = 0 (…

とととと、で、どんな計算をしていたか。I, J, K, Lとかは非負整数、[I]= {0, 1, ..., I-1}、#([I]) = I とする。対応する小文字i, jなどはI, J上を走る変数。+, * は普通の足し算と掛け算。/, % は余りのある割り算（整除）と余り。I(*)J = [I*J] として、f…

LaQ（http://www.yoshiritsu.com/html/new_top/new_top.html）のピースのタイプ番号を覚えられない。四角とか三角とか曲がったヤツとか呼んでいる。次男にバカにされる。と、それはどうでもよくて、LaQの“四角のようなヤツ”（何番だ？）で、直接的に接合でき…

対角和とクロネッカー積の計算をしてみたのだけど、整数の掛け算／割り算ができねーよ。ダメダコリャ。だいたいの見通しはついているのだけど、具体的な算術計算すると間違う。ダメダコリャ。どうしたもんかなー？ 次男と一緒に勉強し直すか（割とマジ）。

a[i, j], b[k, l]、0≦i＜I, 0≦j＜J, 0≦k＜K, 0≦l＜L とする。 c[α, β] = a[i, j]*b[k, l] d[α', β'] = b[k, l]*a[i, j] のとき、0≦α＜I*K, 0≦β＜J*L に対して、 α' = (α%K)*I + α/K = σ(α) β' = (β%L)*J + β/L = τ(β) とすると、(α, β) |- σ×τ →(α', β') が…

行列の対角和とクロネッカー積の半環は、単位律も結合律もon-the-noseで成立する。2つのpermutative圏の構造を持つ。具体的な添字計算で分かる。

手が痛えー。タイピングが不自由。 コボルディズムの圏 両側加群（bimodule）の圏 ラベル付き遷移系の圏 圏係数行列の圏 他に、順序集合の圏の圏、強2-圏の圏とかタングルの圏とか。 典型的対象 0セル 1セル 2セル コボルディズム 境界なし多様体 同境 同境…

行列のクロネッカー積を作るときは、添字を 0, 1, 2, ..., I-1 としたほうが便利。a[i, j]とb[k, l]のテンソル積を a(×)b とすれば、 (a(×)b )[i, j, k, l] = a[i, j]*b[k, l] a(×)b を平坦化した行列をcとして； c[α, β] = a[i, j]*b[k, l] α = i*K + k β =…

係数半環を固定して、行列の全体Matを考える。A, B∈Matに対して、形状が同じとき、その成分の置換を射と考えて亜群を作る。任意の置換ではなくて、ブロックに切って（矩形分割して）の置換だけを考えてもいいだろう（ゲームっぽい）。すると、亜群Matは、対…

昨日の記事に訂正： シェープが(I, J)であり圏の対象を成分とする行列を1セルと考えると、同じシェープで射を成分とする行列は2セルと思ってよい。2セルの縦結合はアダマール積に似てるからアダマール結合と呼ぼう。Mat(I, J)はアダマール結合で圏になる（ア…

弱半環（pseudoを使って疑似半環 or 疑半環のほうがいいかも？）係数の行列計算は、なんか奇妙だ。が、既存の枠組みに入るような気もする。とありえず現象： 行列A, B:I→Jに対しして同値α:A~~>B がある。これを2セルと考えることもできるが、ちょっと違うよ…

まず、弱半環として、集合と双射、直和と直積を考える。これをSB(Sets and Bijections)とする。詳しくは、(SB, +, 0, ×, 1, 法則ごとの同値性)。法則ごとの同値性とは、associator αとか、なんか色々。I, J, Kなどは有限集合として、弱半環SB係数の行列を、I…

圏を係数系とした行列／テンソルの計算をしたかった。だから、バレット＆マッカイの2-ベクトル空間や圏群の話は、ちょうどいいタイミングだった。バレット＆マッカイでは、具体的な行列を使ってモノイド双圏を作っている。が、僕の興味としてはモノイド二重…

モノイド、群、半環のように、等式的に定義された代数系を考える。当然にこれらは、集合を台として定義される。圏を台にしたモノイドはモノイド圏、亜群を台とした群は圏群、圏を台とした半環は半環圏（まだ定義は曖昧）のようになるが、集合と圏の中間的な…

次のような関係がある。 双積⇒積 は当たり前 双積⇒余積 は当たり前 双積⇒加法 加法+積⇒双積 加法+余積⇒双積 次のような定義ができる。 ∇A := π1A,A + π2A,A ι1A,B := <1A, 0A,A>

近加法圏に対するMAT+関手だが、レトラクション関手R:MAT+(C)→C があれば、別に同値コントラクションという自然変換は要らないのかも（勘違いしてたっぽい）。Cに対して、 M ： MAT+(C) M1 ： 1×1 行列の全体 Md ： 対角行列の全体 Md2 ： 2×2対角行列の全体…

行列の圏と行列レトラクタブルな圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編より： 零対象と双積を持つ圏は、自動的に（必然的に）近加法構造を持つと思うが確認してない。おそらくは、「双積を持つ近加法圏」という定義は冗長だろう。 A×Bを直積、A+Bを直和、A※B…

以下は、氷運搬問題の例（説明は下）： A,B,C,Dの4頂点と、それを拡張した6頂点のグラフ上の力学系。重み付き隣接行列をKとする。 頂点に分布された氷の量φが状態関数＝波動関数＝コスト関数となる。φ' = Kφ が系の発展方程式。 頂点Aにだけ分布しているδ関…

示せるはずだよね。

ベキ等な双デカルト圏において、(1+Δ);(∇+1);(Δ+1);(1+∇) = □ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の公式から次が示せる。□ = ∇;Δ として、 □ = (1 + Δ);□;(∇ + 1) さらに、[f] = ∇;f;Δ として、 [f] = (1 + Δ);([f] + f);(∇ + 1) これは、再帰的な（入れ子…

(f*)* = f* ができないのがフラストレーションなんだけど、まー、しばらくこれはあきらめよう。物理の計算もサッパリできない。のだが、もともと僕はこうるさい厳密な計算が好きじゃないから、物理の計算に意外と向いているかもしれない。（さらに）のだが、…

(f*)* = f* をやっているうちに、なんかのはずみで次に気がついた。 (1+Δ);(∇+1);(Δ+1);(1+∇) = ∇;Δ = □ フロベニウス代数なら、(1+Δ);(∇+1) = (Δ + 1);(1 + ∇) = ∇;Δ だから、(1+Δ);(∇+1);(Δ+1);(1+∇) = ∇;Δ;∇;Δ、ベキ等ならΔ;∇が消えて∇;Δとなるが、いまは…

ベキ等性を仮定しても (f*)* = f* の計算ができない、エーン。(f+)+ = f+ なら簡単にできるのに、なんでだ？ ベキ等じゃないのときは、例えばN係数の形式無限級数の半環とかで反例を作れる。

コンウェイ半環（Conway半環）で次が成立する。 (ab)* = 1 + a(ba)*b (a + b)* = (b + a)* = (a*b)*a* これをトレース付き双デカルト圏に持ってくると、 (f;g)* = 1 + f;(g;f)*;g (f∨g)* = (g∨f)* = (f*;g)*;f* これらを示す。まずは積スター公式：fが黒丸、…

背景は次を参照： 等式的デカルト、余デカルト、双デカルトな圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 (http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20061005/1160006705) f*の展開公式 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 (http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/200…

f*には、次の2つの代表的表現がある。 Tr[(1+Δ);(σ + f);(1 + ∇)] Tr[(1+f);∇;Δ] 参考： 等式的デカルト、余デカルト、双デカルトな圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 (http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20061005/1160006705) f*の展開公式 - 檜山正…

総和Σの掛け算バージョンが総積Π。Σの連続版が積分となるが、Πの連続版もある。product integralという。 http://en.wikipedia.org/wiki/Product_Integrals 日本語では「積積分」か「乗積分」。積積分は積の積分（公式）の意味にも使われるし、乗積分は二乗…