半環Pow(N)の計算

本編のほうでホッピングボール・マシンの話を書き出した。これは、境界付き遷移系でラベル（アクション名）集合が単元に退化した例。加法モノイドNを圏と見なしての境界付きカテグラフだとも言える。全体として、モノイド構造を持った初歩的圏になるように細工している。

で、メモ編の分類カテゴリーに「ホッピングボール」を追加して、ホッピングボール・マシン関係のメモとする。

さて、ホッピングボール・マシンFがあると、その振る舞いBeh(F)は半環Pow(N)を係数とする行列になる。Behは、Pow(N)係数の行列圏への厳密モノイド関手となる。その係数半環Pow(N)の話だけど、加法は集合和∪、問題は情報・のほうで、次のように定義する。

• A・B = {n∈N| a + b = n となるa∈A, b∈B がある}

A・B = {a + b | a∈A, b∈B }といっても同じ。一般化すると、モノイドM上に半環Rに値をとる関数半環R[M]を考えて、積を畳み込みでいれる。つまり、

• (f・g)(z) = Σ[z = x*y | f(x)g(y) ]

z = x*y となるx, yの組が無限個あるときは、Σとして総和構造や積分が必要。モノイドMがNの足し算、Rを{0, 1}にしたときが当該の例。

ところで、Pow(N)は、実数区間[0, 1]の二進小数展開とだいたい1対1に対応する。[0, 1]の実数と見ると、掛け算・は、通常の位取り方式の筆算と同じ。ただし、足し算に繰り上がり（桁上がり）がない。つまり、普通の計算と少し違うが、Pow(N)の計算は[0, 1]実数の筆算として再現される。