表現と加群は同じことだが、それを考えるために： アンビエント・ドクトリン： 世界となる圏の圏、2-圏構造を使うこともある 単対象サブドクトリン：アンビエント・ドクトリンのなかで、単対象のものだけの集まり。圏になる。 表現サブドクトリン：表現の舞…

EGNO本 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の記事で引用した69ページの論説 http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v51n1/v51n1a07.pdf Title: TENSOR CATEGORIES: A SELECTIVE GUIDED TOUR Author: MICHAEL MUGER この論説だと、 ‘monoidal categories’ or…

Title: Tensor Categories Authors: Pavel Etingof, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, Victor Ostrik URL: http://www-math.mit.edu/~etingof/egnobookfinal.pdf Pages: 362p. テンソル圏の教科書、362ページの出版物がまるまるPDFで提供されている。素晴ら…

集合→離散圏 集合→余離散圏 モノイド→単一対象圏 モノイド→離散モノイド圏 圏→2セルが自明な2-圏 モノイド圏→単一対象の双圏 集合→縦離散・横余離散な双圏 n-圏→m-圏（n＞m）切り落とし、m-骨格 グラフ→自由圏 n-複体→自由n-圏（難しい） モノイド→ラックス…

Title: Polycategories via pseudo-distributive laws Author: Richard Garner URL: http://arxiv.org/abs/math/0606735 Pages: 51p. のp.11に"the two-sided Kleisli category Kl(δ) of the distributive law δ"てのが出てくるが、これって両クライスリ圏だ…

セルの次元は描画時にbump upしているので、描画キャンバス次元は1次元上がっている。 高次圏 シーケント ムービー 0-セル 命題 絵の一部（ワイヤー） 1-セル シーケント スチル 2-セル 推論、証明 トランジション、ムービー 3-セル 証明の変形 ムービームー…

まず、メイト対応のもとになる単位の構造 ベクトル空間の双対空間 K→V*V 関数計算（インフォーマルなラムダ計算とか）の恒等射のネーム 1→[A, A]（指数） 関手の随伴対 η::Id⇒G*F 米田埋め込み id::1⇒A*A^（A^は対象Aの米田埋め込み） ベクトル空間の双対と…

次で触れたこと： 双対と共軛を統制する4元の群 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 逆関手（inverse functor）と逆転関手（inversion functor） - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 かなり重要な気がしてきた。スター関手、ダガー関手、逆転関手がとりあえ…

F:C→D の逆関手は G:D→C で、F*G = C, G*F = D であるもの。ちなみに、FからGは神託構成になる。別な言い方をすると、GはFを含むイプシロン項で表現される。Gが亜群だとする。亜群では、(-)-1が反変関手となる、Inv:G→G が、Inv(f) := f-1 で定義される。こ…

本編で次の記事を書いた。 Globularのサンプルを追加： 随伴関手対と双対ベクトル空間対 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 このての話のベースは、メイト定理だ。 https://ncatlab.org/nlab/show/mate nLabのこの記述は分かりにくいが、2-セルに関する絵を描けば…

-or接尾辞、Interchangor, Snakerator - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。ナントカ法則、ナントカ律というと、法律や校則がそうであるように、自分の行為を規制するもの、上から与えられた（あるいは押し付けられた）制約のように感じる。associato…

あ、そうそう。Globularの物凄くイライラするところ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 -- なんでそう思ったかを書く。ニョロニョロ関係があるとき、ホムセットの同型としての随伴が出る。それを証明する。n-セルであることを :n で示す。-[-]- はペーステ…

初歩的モノイド圏（rudimentary monoidal category）とは、 対象は自然数 モノイド積の対象部分は足し算 である圏。その例： 自然数の順序圏 置換圏（対称圏） 組み紐圏、、トレース付きだとサークル（ループ）を認める。 テンパリー／リーブ圏、、トレース…

豊饒圏をちゃんと定義したい - 檜山正幸のキマイラ飼育記豊饒圏の定義とか、割と詳しく書いている。 関数で関手が表現できるって変でしょ、どういう仕掛けかな？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記総称関数が関手の表現に使える事情。 圏論的指数の定義 - 檜山正幸…

モナド・トランスポンダーという名前を使おうかと思っていたが、 トランスポンダー - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 モナド・トランスポンダー：動機 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 やめた。加群概念の拡張だから、 プロ加群 プロト加群 ウル加群 ヘ…

とりあえず定義だけ、とメモして、後で動機や意義がサッパリ分からなくなることがあるので、先に動機、経緯を書いておく。モナドは、圏C上の自己関手の圏 End(C) 内のモノイドと考える。一般に、外の圏が何であれ、モノイドに対して次の概念を考えることが出…

集合圏、部分写像の圏、関係圏は一緒に考えて互いに比較するといいようだ。今の焦点は部分写像の圏。まずは、モナド、つうか随伴関手対と共に考える。Set上のモナドAugを考える。Augはaugmentation（増加、増強、増大、添加物、拡大）のことで、付点モナドと…

アフィン空間も一般化距離空間、指数は引き算 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 では、ベクトル空間を圏とみなしたが、すべてのベクトルを対象と思って、離散圏としている。モノイドMがあるとき、Mを圏とみなすために、対象類として単元集合を想定して、M…

カリー／ハワード対応は、まさにアナロジーの勝利。マーク・ホプキンスの観測もアナロジーだし、バエズ／ステイのロゼッタストーンにしろアナロジーだ。表のまとめ： 2015年10月、11月、12月ほんの少し - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の表の多くはアナ…

主に2015年10月と11月、12月少し（昨日・今日とか）でブログに出現した表を集めてみる。全部一度に眺めると、なにか思いつくかもしれない、と期待して。まとめる作業がイイカゲンだから、順不同で網羅的かどうかも分からない。 豊饒プロ関手は豊饒な世界を提…

ローヴェルの一般化距離空間では、一般化距離（≒コスト）を測るのに非負実数（∞含める）を使っている。豊饒圏の枠組みで考えれば、別な圏（ベナボウコスモス）でいいはずだ。ベクトル空間Vを次のようにしてモノイド圏Cだと考える。 |C| = V 対象＝ベクトルに…

ホムセット（ホモセット）ならぬヘテロセット H(X, A) |C|×|D|→Set を考えると、CのHへの左作用、DのHへの右作用を考えた双加群は、プロ関手 H:Cop×D→Set, H:C-/→D になる。特に、C = D のとき、自己プロ関手は、左C-右C-双加群となる。以上はよく知られた事…

参照： 対応 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 豊饒プロ関手は豊饒な世界を提供するのか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 定義域の種別 定義域 豊穣化基礎圏 名称 集合（0-圏）X X×X Set 圏 集合（0-圏）X X×X V V-圏 集合（0-圏）X X×X 総和完備半環K K係数正…

MとNがモノイドとして、XM→NX の形の作用（Mの右作用）を持つ入れ替え加群（モノイド・アダプター）を右入れ替え加群と呼ぶことにする。当然、左入れ替え加群も定義できる。入れ替え加群も右と左がある。まず、通常の（片側）加群と入れ替え加群の関係。M-左…

「オートマトンの圏」は色々に定義できる。色々有り過ぎて困る。優劣を論じるより、使い分けるという話だ。オートマトンを対象、トランスデューサーを射とみなすのは、模倣／双模倣の解釈に役立つ気がする。この解釈では、射が単なる状態空間の対応ではなく…

[追記]そんな簡単な話ではなかった！ これはダメだ。[/追記]モノイドMがあって、Mの反対モノイドMopとMのあいだの双対性があるとする。MMop→I として余単位＝evが定義されているとする。そのとき、左Mop反応を持つ入れ替え加群から、両側加群を構成できる。…

プレ順序集合に対する加群概念一般論と特殊ケース - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 次に順序集合。これはたぶん、たぶんだけど、A上の順序構造とB上の順序構造があるとき、A×B上の二項関係を使って、A+Bに順序構造を入れる話だと思う。 だいたいあってる…

一般論と特殊ケース - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 「モノイド接続」って言葉がイマイチなのは承知。なんかいい言葉がないか？ モノイド・アダプター（monoid adapter）はどうかな。モナドの変換（transformer）があるが、広義で解釈すると、モナドを受…

一般的な記述： 2-圏におけるモノイドが2つあって、それを繋ぐモノイド接続（monoid connector）が1つあるとする。このとき、モノイド接続は、加群の圏のあいだの関手を誘導する。この一般的な定理を、「モノイド接続の持ち上げ定理」と呼ぶことにする。モノ…

プロペラッドについては次が詳しい、大作。ハックニー／ロバートソン／ヤウ。 Title: Infinity Properads and Infinity Wheeled Properads Authors: Philip Hackney, Marcy Robertson, Donald Yau URL: http://arxiv.org/abs/1410.6716 続きかな？ Title: Th…