アフィン空間も一般化距離空間、指数は引き算

ローヴェルの一般化距離空間では、一般化距離（≒コスト）を測るのに非負実数（∞含める）を使っている。豊饒圏の枠組みで考えれば、別な圏（ベナボウコスモス）でいいはずだ。

ベクトル空間Vを次のようにしてモノイド圏Cだと考える。

1. |C| = V
2. 対象＝ベクトルに対するモノイド積はベクトルの和
3. モノイド単位対象はゼロベクトル
4. 射は恒等射だけ、つまり離散圏

Xが集合だとして、Vに値を取る一般化距離空間は、h:X×X→V で定義される。これが豊饒圏になる条件は：

1. h(x, y) はVの対象である。
2. γ_x,y,zは、h(x, y)h(y, z)→h(x, z) の射である。
3. ι_xは、I→h(x, x) の射である。

Vの構造に即して具体的に書けば：

1. h(x, y) はVのベクトルである。
2. h(x, y) + h(y, z) = h(x, z)
3. h(x, x) = 0

これは、XからVのアフィン空間への写像があると考えてよい。あるいは、Xは一般化アフィン空間である。

V自体をアフィン空間とみなすために、h(x, y) = y - x とすると、

• h(xy, z) = h(y, h(x, z))

は、

• z - (x + y) = (z - x) - y

となる。これが指数の意味を与える。

指数の意味は：

• 集合圏の関数空間（関数集合）
• 論理の含意演算
• 自然数、非負実数の限定引き算
• ベクトル空間の圏の双対とのテンソル積
• 関係圏の直積
• ベクトルの引き算

などとなる。