モノイドから作るモノイド圏

アフィン空間も一般化距離空間、指数は引き算 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 では、ベクトル空間を圏とみなしたが、すべてのベクトルを対象と思って、離散圏としている。

モノイドMがあるとき、Mを圏とみなすために、対象類として単元集合を想定して、Mの元をすべて自己射とみなす。しかし、Mの元をすべて対象とみなして、恒等射と同一視した上でモノイド圏としてもいい。

つまり、モノイドの自明な圏化は二種類あって、

1. Mの元をすべて射とみなす → 単なる圏
2. Mの元をすべて対象とみなす → モノイド圏

モノイド圏を考えている文脈で、簡単な例が欲しいときにこの方法が使える。例えば、足し算モノイドとしてのNはモノイド圏となる。非可換な例が欲しいなら、右自明または左自明なモノイドが例となる。