無音{記号,遷移,アクション}またはブランク{記号,遷移,アクション}をアンダースコアで表す。入力記号Xと出力記号Yに対して、X_ = X + {_}、Y_ = Y + {_} とする。入出力記号は、X_×Y_ = X×Y + X×{_} + {_}×Y + {_}×{_} とする。アルファベットΣを、Σ=X_×Y_ …

二重圏の具体例を作る。難しすぎず単純過ぎず。横1セルが中心となる。横1セルが状態遷移系を表す。 時間概念を含む。テスト付きクリーネ代数ではうまくない。 並列実行を含む。テスト付きクリーネ代数ではうまくない。 入力記号・入力言語、出力記号・出力言…

「冗長有向グラフ、ε同型、グリッド積、離散コボルディズム」で冗長有向グラフという言葉を出したが、これは言葉が良くないね。ステップ空間と呼ぶことにする。Aを集合として、A上のステップ構造は、S0⊆A×A、S1⊆A×A の2つの関係で定義される。(A, S0, S1) が…

TQFT（より一般にはQFT、あるいは単にFT）の離散版を考えたい。まずは、コボルディズム圏Cob(n)に対応する圏を定義したい。Cob(1)に類似だが、ある意味でCob(1)の一般化になっている。基本は反射的有向グラフ（自己ループ辺、多重辺を許す）である。幾つかの…

ダイクストラ波動はグラフ（通常は有限グラフ）上を走る波動だが、連続現象の波動とは違う特徴を持つ。 アルゴリズム時間＝ステップ数 に沿って進行する。 アルゴリズム時間は現象時間とは異なる。そもそも現象時間がないときもある。 アルゴリズム時間は、…

トロピカル環（半環）についは、 熱帯はやっぱり熱い！ （tropical半環おもしれー） - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 Exotic Semirings - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 離散的な力学系に関しては、 離散物理としてのグラフ理論 - 檜山正幸のキマイラ…

「圏ラベル付きのグラフ」という概念を何度か出したことがある。イエッター（Yetter）らの関手結び目理論でもそういうもの（圏ラベル付きのタングル）が出てくる。これは結局、関手の表現（presentation、representationではない）になっている。物理で「場…

スピヴァック理論とかの刺激で、マイヒル／ネロードの定理がけっこう分かってきた。指標を圏、むしろ圏の表示（presentation）だと考える。具体的には有向グラフとパス同値関係のセット。有向グラフのルートノード／リーフノードと同じ定義で、圏のルート対…

スタンフォードのヴァーン・プラット（Vaughan Pratt）が1989年に書いた論文に ENRICHED CATEGORIES AND THE FLOYD-WARSHALL CONNECTION というのがある。実質4ページ（1行はみ出して5ページ）だが、含蓄に富み面白い。「離散物理としてのグラフ理論 - 檜山…

higher-dimensional transition systemの関係論文を少し見ただけで、こう言うのはナンだが； 定義や定理がなんかイマイチで、役に立つ感じがしない。抽象論は大好きだが、CPU、メモリ、マシン（またはプロセス）などとの対応が鮮明じゃないと現実に適用しに…

とりとめない。並列計算を理解したい！ 高次遷移系を使いたい。higher-dimensional transition systems とか higher-dimensional automata とかで検索してそれなりに引っかかる。が、なんかピンと来ない。組み合わせ幾何学の観点からは、単体的複体や方体的…

グラフの頂点数と同じサイズの正方行列を計算する。頂点付値、辺付値がある。 {0, 1}半環 可達性 min-plus代数 コストの最小化（例：距離、運送費用） max-plus代数 ゲインの最大化（例：金貨拾い問題） max-times代数 乗法係数の最大化 （例：氷運搬問題） …

"Hoare algebra"って言葉は使われてないようだ。僕が使ってしまうぞ。プログラムの計算がテンソル計算と似ているのは、・→・ に対して、2つのブール半環と、それらを係数とする両側半加群が対応するからだろう。A, Bなどがプログラムで、p, qなどが条件だと…

同じ概念を次のような言い方をしている。 複行列 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/searchdiary?word=%CA%A3%B9%D4%CE%F3 形式テンソル http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/searchdiary?word=%B7%C1%BC%B0%A5%C6%A5%F3%A5%BD%A5%EB テンソルグラフ htt…

僕の作業仮説であるマンダラ仮説だと、計算の世界は複雑だ。単純化しすぎた定式化はうまくいかないだろうと思っている。だが、扱いにくい複雑性ではどうにもならない。扱いやすい「単純な複雑さ」を探さなくてはならない。今知っている具体例から抽象して、…

時間も空間も何もかも離散的な状況で考える。可算無限は認めたいが、面倒なら全部有限でいい、という前提。時間発展の生成子（time evolution generator）は、正方行列Aで与えられているとする。境界（入出力）とかあるけど、とりあえずはAだけに注目。 FA(k…

title: Elgot Theories: a new Perspective of Iteration Theories (Extended Abstract) authors: Jiri Adamek, Stefan Milius, Jiri Velebil URL: http://www.iti.cs.tu-bs.de/~adamek/Elgot(abstract),AMV.pdf

もともとの（かなり狭義の）フロイド／ウォーシャル法では、無向グラフ上の最短距離行列や最短経路を求める。有向グラフにして、距離を非負値コストにしてもたいして事情はかわらない。[0, ∞] に min-plusをいれた加法的ベキ等半環を係数域とする行列計算に…

[追記] http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20110713/1310515189 とだぶっていた。[/追記]もともとの（かなり狭義の）フロイド／ウォーシャル法では、無向グラフ上の最短距離行列や最短経路を求める。有向グラフにして、距離を非負値コストにしてもたいし…

一時期、記号回路というものを定式化しようとして、どうもうまくいかなかった。今考えたら、実はモナド（のクライスリ圏）だった。Aが有向グラフとして、その自由圏FC(A)、自由モノイド圏FMC(A)、自由対称モノイド圏FSMC(A)などが定義できて有向グラフの圏上…

http://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_algebra この記事に、対蹠射（antipode）Sの可換図式が載っている。 Δ;(S×id);∇ = ε;η Δ;(id×S);∇ = ε;η ということで、ほぼ予想通り。ε;ηはゼロ射と同じものだろうからθと置くと： Δ;(S×id);∇ = Δ;(id×S);∇ = θ となり、…

URL: http://arxiv.org/abs/0806.2238 Title: Two interacting Hopf algebras of trees Authors: Damien Calaque, Kurusch Ebrahimi-Fard, Dominique Manchon Pages: 24pages

アンドレ・ジョイアルとヨアヒム・コックのファインマングラフの定義。ここで言っているファインマングラフとは、開いた辺を持つ無向グラフ、それだけのこと。多重辺も許すし、ループも許す。が、サークル（頂点をまったく持たないループ）は持てない。開い…

昨日のファインマングラフの定義を解読したけど、これがnaturalなんかなー？ファインマングラフって無向グラフなのね。で、外線を持つと。少なくともジョイアルとコックの定義はそうなっている。無向グラフの定義に有向辺を持ち出すのが分かりにくかったし、…

誰もちゃんとした定義を書いてないのでは？ 2009年になって、アンドレ・ジョイアルとヨアヒム・コックが、very natural で it seems to be new （当社比か？）な定義を与えているが、よくわからん。半分辺（half-edge）の集合Hが出てくるのいいのだが、次の…

次の図：全トレースを取ると、観測的には見えなくなるけど、図形としてはちゃんと存在している。実は、モノイド積（テンソル積）とスカラーの取り方によっては、観測的にも見えることがある。

まずはコンヌ御大がクレイマーと書いている論文。こんなかでルンゲクッタ法に触れている。 Title: Lessons from Quantum Field Theory -- Hopf Algebras and Spacetime Geometries Autors: A. Connes, D. Kreimer URL: http://www.alainconnes.org/docs/less…

力学法則が乗った空間（正方行列H）があるとき、空間全体の時間発展（exp(Ht), t≧0）が完全に分かれば、特定の始境界／終境界と時区間を指定した伝搬現象は当然ながら完全に分かる。境界や時間を特定することとは、全空間の全歴史のごく一部を取り出すことに…

7月13日にみつけたペーニャ／ロアシャイド（Javier Lo'pez Pen~a, Oliver Lorscheid）の Mapping F1-land（http://arxiv.org/abs/0909.0069）は素晴らしい解説。デイトマー（Deitmar）の方法が一番普通な感じなのはわかったが、コンピュータで使うならトゥエ…

F1-幾何の定式化のひとつに、ハラン（Haran）の非加法幾何（non-additive geometry）てのがあるらしい。紹介を読んだだけだが、離散有限的な状況、コンピュータの話とかにはこれは使いやすそう。トゥエン／ヴェキ（Toen-Vaquie）のモノイド圏構成と関手圏を…