ステップ空間
「冗長有向グラフ、ε同型、グリッド積、離散コボルディズム」で冗長有向グラフという言葉を出したが、これは言葉が良くないね。ステップ空間と呼ぶことにする。
Aを集合として、A上のステップ構造は、S0⊆A×A、S1⊆A×A の2つの関係で定義される。(A, S0, S1) がステップ空間だが、次の条件を課す。
- ΔA⊆S0
S = S0 + S1 とする（S = S0∪S1 ではない！）。Sを有向辺集合としてAを頂点集合とする有向グラフができる。これをステップ空間のグラフ、あるいいはステップグラフと呼ぶ。ステップグラフの辺は、{0, 1} でラベルされていると考える。
ステップグラフは多重辺、自己ループ辺を許すが、両端が同一である辺は最大で2本までで、その2本はラベルで区別されている。ラベルである0, 1は離散時間と考える。0の代わりにラベルεを使い、1は無印とすることがある。ε（0と同義）でラベルされた辺をε辺と呼ぶ。
ΔA⊆S1 であるステップ空間を空間的という。ΔA∩S1 = 空集合 であるステップ空間を時間的という。空間的でも時間的でもないステップ空間がいくらでもあるが扱いにくい。空間的か時間的かのどちらかを主に扱う。
2頂点が「ε辺で結ばれる」という関係から作った最小の同値関係をε同値と呼ぶ。ε同値で割り算した商グラフをε商と呼ぶ。ε商では、ΔA＝S0 となる。一般に、ΔA＝S0 であるステップ空間はεフリーと呼ぶ。
ステップグラフのパスの長さを、辺のラベル（0または1）の和で定義する。パスの長さの最小値を使って、ステップグラフの頂点集合（ステップ空間の点）のあいだの準擬距離（∞を許す）が定義できる。ステップ空間がεフリーなら、これは準距離（非対称距離）になる。
E = 辺の集合 = R0 + R1 に対して、π:E→A を (a, b) |→ a という射影で定義する。π:E→A を隣接バンドル（adjacent bundle）と呼ぶ。接バンドル（tangent bundle）の離散版である。Eの要素を隣接ベクトル（adjacent vector）とも呼ぶ。接ベクトル（tangent vector）の離散版である。
π':E→A を (a, b) |→ b で定義されるバンドルを逆隣接バンドル（reverse adjacent bundle）と呼ぶ。
ファイバーπ-1(a) をaの前方錐（forward cone）、ファイバーπ'-1(a) をaの後方錐（backward cone）と呼ぶ。時間的なステップ空間では、未来錘、過去錘ともいう。未来錘と過去錘の共通部分を現在空間と呼ぶ。時間的ステップ空間がεフリーなら、現在空間は一点である。
ステップ空間の点aの前方錘と後方錘の合併を隣接球体（adjacent ball）と呼ぶ。時間的ステップ空間では、隣接球体に離散ローレンツ構造が入る。よって、時間的ステップ空間は、離散的ローレンツ多様体とみなせる。離散的ローレンツ多様体の定義をちゃんと持っているわけではないが。
ステップグラフの辺が自己ループでないとき進行（progression）と呼ぶ。そうでないとき非進行的（non-progressive）ステップとなる。ラベルが1で非進行的なステップは停滞ステップ（staying step, stay）と呼ぶ。時間的ステップ空間では、停滞ステップは許されない。
隣接球体には、局所的離散な不定値（負の値も許す）ノルムが入る。ノルムの値は、{0, 1, -1, ε, -ε} のどれかで、εは「零に等しいが微小正数」というわけの分からない解釈をする。ε辺で結ばれる異なる点のあいだのノルムはεか-ε。ステップ空間の直積は、隣接球体の積ノルムで定義するが、積ノルムの取り方で、まったく構造が変わる。総和ノルムと最大値ノルムでは、ステップ空間として同型にはならない。
