冗長有向グラフ、ε同型、グリッド積、離散コボルディズム
TQFT（より一般にはQFT、あるいは単にFT）の離散版を考えたい。まずは、コボルディズム圏Cob(n)に対応する圏を定義したい。Cob(1)に類似だが、ある意味でCob(1)の一般化になっている。
基本は反射的有向グラフ（自己ループ辺、多重辺を許す）である。幾つかの辺にεでマーク付けがしてあるとする。εマークが付いた辺をε辺と呼ぶ。オートマトンのε遷移（ε-move）と意味的には同じ。ε辺を1本除去する手順を：
- ε辺が自己ループ辺なら単に削除するだけ。辺の数が1つ減る。
- ε辺の両端がA, Bで、A≠Bのときは、AとBを同一視してからε辺を削除する。頂点数と辺の数が1つずつ減る。
頂点の集合Sがεクラスタだとは、
- A, B∈S ならば、次のいずれかが成り立つ。
- A = B
- AからBに向かうε辺がある。
- BからAに向かうε辺がある。
Sがεクラスタならば、Sを一頂点に潰して、クラスタ内のすべてのε辺を除去する操作ができる。この一括操作と、一本ずつε辺を除去していく操作は同値である。どういう操作をどの順番でやっても同じってこと。
ε辺を含む（0本でもよい）反射的有向グラフを冗長グラフと呼ぶ。Gからε辺をいくつか除いたグラフをG'のように書く。G→G'という操作をε縮約、ε還元と呼ぶ。
GとHがε同型とは、
- G-(ε縮約)→G'、H-(ε縮約)→H' で、G'とH'がグラフ同型となるものがある。
SとTが集合で、Gが冗長グラフ、i:S→|G|、j:T→|G|が単射とする。このとき、S + |G| + T を頂点集合とするグラフを作る。
- a∈S と i(a)∈|G| をε辺で結ぶ
- b∈T と j(b)∈|G| をε辺で結ぶ
- 必要な自己ループ辺は加えて反射的グラフにする。
こうして出来た冗長グラフを境界付き冗長グラフと呼び。Tを進入境界（incoming boundary）、Sを退出境界（outgoing boundary）と呼ぶ。
境界付き冗長グラフ(G, i, j)を G:S→T のように書く。G:S→T、H:T→U があるとき、G;H が定義できる。また、IdG も定義できる。しかし、そのままでは圏にならない。冗長グラフのε同型による同値類を取ると圏になる。
GとHのグリッド積 K = G□H は、|K| = |G|×|H| で、Edge(K) Edge(G)×|H| + |G|×Edge(H) となるように辺を決める。グリッドは平面上の格子をイメージして名づけた。グリッド積により頂点集合は直積になるが、次元が上がらないところがミソ。
