拡張されたマイヒル／ネロードの定理

スピヴァック理論とかの刺激で、マイヒル／ネロードの定理がけっこう分かってきた。

指標を圏、むしろ圏の表示（presentation）だと考える。具体的には有向グラフとパス同値関係のセット。有向グラフのルートノード／リーフノードと同じ定義で、圏のルート対象／リーフ対象を定義する。圏とその表示をしばしば同一視するので、指標は圏とも表示とも解釈する。表示付き圏（category with presentation, presented category）と考えれば問題ない。

指標Σに対して、Mod[Σ] := [Σ, Set] と考える。パス同値関係の組を等式系Eと考えて、等式を満たす全体は、Mod[Σ, E] := [Σ, Set]_E とか書く。可逆2-セルを持つ高次圏を考えればもっとスマートな定義ができる。

指標Σは多ソート隠蔽指標だとして、Σのルート対象とリーフ対象の全体をδ(Σ)と書き、Σの境界と呼ぶ。境界に属さないノードはそべて隠蔽ソートだとする。V:δ(Σ)→|Set| を固定して、(Σ, V) をディリクレ指標と呼ぶ。ディリクレ指標 (Σ, V) のモデルは、Vの拡張となっているような関手 A:Σ→Set である。モデルを、(Σ, V)-代数とも呼ぶ。

マイヒル／ネロードの定理は、(Σ, V)-代数の圏の構造定理となる。(Σ, V)-代数の圏のなかに、可達代数（reachable）の部分圏と可識代数（observable）の部分圏を定義できる。可達かつ可識な代数は同型を除いて一意的に存在して、それは圏のパスの集合（本質的にホムセット）で具体的に構成可能である。

ディリクレ指標 (Σ, V) に対する可達かつ可識な代数をマイヒル／ネロード代数と呼ぶことにすると、代数のモデル圏のなかにマイヒル／ネロード代数は必ず存在し、同型を除いて一意的である。