圏を係数とする行列やテンソル - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

同じ概念を次のような言い方をしている。

カテグラフってのが一番一般的な概念で、イエッター（Yetter）もCラベル付きタングルという概念を提示しているから、良い概念だと思う。特殊ケースにリグラフがある。

カテグラフのなかで古典テンソル計算に対応するのが形式テンソル。形式テンソルの特殊なものが形式行列＝圏係数行列でいいと思う。テンソル計算では積和の計算が必要だから、係数圏は半環圏ということになるだろう。行列計算だけなら、加法的モノイド圏で十分。

形式テンソルの圏を作るには、和と積を持つ添字集合の圏が必要。対象の和と積は集合論的直和と直積で良さそうだが、射の定義が問題。射の定義によって形式テンソル圏の構造も変わる。有限集合と関係の圏とするのが一般的かもしれない。

一般のカテグラフの圏は、添字の圏（テンソルの添字と同じ）と係数圏から決まる。添字の圏は、係数圏を自明圏1とした場合のカテグラフ圏と同一視できる。一方、係数圏Cは、添字の圏を自明圏としたカテグラフ全体の自然変換の圏と同一視できる。

ここで絵の描き方の話。次の図は裏写りしているし、分割するのがメンドイので一枚絵だが：

i∈{1, 2, ..., n} を i:n とも書く。iは単なる目印で、適当にリネームしても影響ない。nは添字の範囲。iをフラットケーブルの識別子だと考えると、nがケーブルの幅になる。幅nのケーブルには、1からnとマークされた単純ワイヤーが含まれる。iはその単純ワイヤーのどれかを示す変数でもある。

フラットケーブルも単なる線で示すと、n→m の行列は、普通のオダンゴ図で表現できる。添字がマルチになったテンソルは、入力も出力も複数のフラットケーブルを持つ。この絵はスパイダーと呼ぶこともある。

スパイダーは、コンパクト閉多圏の射（多射）を意味する。論理では、コンパクトシーケントになる。コンパクト閉多圏は、コンパクトシーケント計算の意味を与え、コンパクト閉多圏をコンパクト閉圏に落とすこともできる。

スパイダーの複数の足を一本のワイヤーで略記すると、基本的にコンパクト閉圏の絵と変わらない。コンパクト閉多圏の演算は次がある。

結合：圏の結合と同じ。
テンソル積：併置
直和：ワイヤーはOR結合される。どちらかにしか入力は入らない。
和：Δ;(f(+)g);∇ のこと。