圏的場

「圏ラベル付きのグラフ」という概念を何度か出したことがある。イエッター（Yetter）らの関手結び目理論でもそういうもの（圏ラベル付きのタングル）が出てくる。これは結局、関手の表現（presentation、representationではない）になっている。

物理で「場」という概念を使う。局所的に場は関数だ。が、場と関数は（局所的にでも）やっぱり別物だと思う。どう別物かを形式的には定義できないが、単なる関数に比べて場は物理的直観が働くのだと思う。

圏ラベル付きのグラフというのはいわば場のようなもので、単なる関手とは違ったメンタルモデルを持てる。このメンタルモデルが有利に働くこともあるだろう。また、場が局所的な関数（バンドルのセクション）の貼り合わせであるように、局所的な関手を（ファイバー付き圏やインデックス圏との関係で）貼り合わせて大域的な場を構成可能（あるいは不可能）かもしれない。バンドルの変換群のような働きを亜群がするのだろう、と思う。

以前からカテグラフ（categraph）／リグラフ（rigraph）と呼んでいたものが圏的場だ。主に、境界による貼り合わせを考えていたが、なにも境界に限らなくてもいいかもしれない。境界のない圏で、開集合に当たるような部分圏で定義された場を貼り合わせるほうが事例が多いかもしれない。

いずれの場合でも、場が棲んでいる圏のスパン／余スパンと極限／余極限構成が基本だ。