Cが圏のとき反対圏Copが考えられる。2-圏のときは、台の1-圏の反対化以外に2-セルの方向を逆にすることもあるから、1-op, 2-op と区別すると： C C1-op C2-op C1-op,2-op が考えられる。ただし、複圏とか、形式的（図形的）可逆性を持たないセルを使う高次圏…

立体視が重要 だが、複数の視点を紹介する時間がない 上江州流が中心 関数概念 「集合と関係グラフ」ベース、非常に静的 記号と計算（記号の書き換え）ベース 装置メタファー、直感的 矢印ベース、圏論へ 関数計算の基本演算 適用中心 結合（合成）中心 高階…

現状での思いと好みを記す。f:A, B → C のとき 左抽象 ΛL(f) = ^f:B → (A --o C) ここで、(A --o C) = AC 右抽象 ΛR(f) = f^:A → (C o-- B) ここで、(C o-- B) = CB 左適用、右適用、基本等式は AppL(a, ^f) = f AppR(f^, b) = f モダスポネンスは A, (A --o…

無限大を含む算術（Erlang実装）の件：まず、おおざっぱに符号の掛け算： × - 0 + - + 0 - 0 0 0 0 + - 0 + これはいいよね。無限大を含む掛け算、n, n'は有限負数、p, p'は有限正数。 × -∞ n 0 p +∞ -∞ +∞ +∞ 0 -∞ -∞ n' +∞ nn' 0 pn' -∞ 0 0 0 0 0 0 p' -∞…

最近（とはいっても3年とかのスパンで）思っているのだが、圏的なオペレータ（cateogorical operators）が重要だよね。でも、あまりまとまった記述や指摘がないし、そもそもオペレータの定義や一般論が難しいので、オペレータは影にかくれやすい。ここで、定…

Title: Teleportation Topology (28 Jul 2004, 17 Apr 2005) Author: Louis H. Kauffman URL: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0407224 Pages: 17 Title: Frobenius algebras and planar open string topological field theories (18 Aug 2005) Author: Aaron…

「全然知らないことが山盛り載っていた」のフーフマン（R. Hoofman）論文における線形圏（linear category）の定義を述べる。他の著者は、線形圏に別な定義をしているかも知れない。記号の準備フーフマンによれば、線形圏とは、双対化対象（dualizing object…

たいていのプログラミング言語のなかに埋め込める。 型：numberとboolean リテラル：普通 変数（インフォーマル）：a,b,c, x,y,zはnumber、p,q,r,s,tがboolean 名前付き関数と無名関数 算術演算子：+, -, *, %, 単項の- 組み込み関数： sqrt 論理演算子：&&,…

バエズのセミナーページ http://math.ucr.edu/home/baez/atmcs2008/ からたどれる； Vladimir Voevodsky, A very short note on the homotopy lambda calculus, Sept. 27, 2006. (http://math.ucr.edu/home/baez/Voevodsky_note.ps) very shortすぎてサッパ…

セリンガーの"A survey of graphical languages for monoidal categories"を眺めていて気付いた。彼は、右肩に星が付くA*を「右双対」と呼んでる。復習：まず、白旗さんの "A sequent calculus for compact closed categories" (http://citeseer.ist.psu.edu…

mixiは全然見ないから、こっちに引き写しておこう。後で追加するかも、本編にも何か書くかも（書かないかも）。バエズ組 2008夏セミナーのページ http://math.ucr.edu/home/baez/atmcs2008/ Title: Computation and the Periodic Table Author: John C. Baez…

Title: A survey of graphical languages for monoidal categories Author: Peter Selinger URL: http://www.mscs.dal.ca/~selinger/papers.html Pages: 59 異常天才ぶりではルーリエが上だろうが、セリンガーも超優秀； 明晰で洗練されたスタイル、誠実で公…

式と推論 単純型付きラムダ 片側シーケントの古典論理が書いてある。ここだと、Gentzen-Shutte（ゲンツェン／シュッテ）になっている。ん？ ゲンツェン／テイトじゃなかった？ 田中さんの言うGentzen-Taitシステムと、A.S.T and H.SのGentzen-Shutteシステム…

ラムダ計算のセミナーをやるので、[セミナー]タグでネタを記録することにする。青いProof Theoryの本とは、A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg "Basic Proof Theory Second Edition"、著者の読み方（カタカナ表記）はトゥロエルストラ、シュウイッテンブル…

V-豊饒圏の扱い方の感覚が少しわかった。こういう感覚はほっておくとすぐに失われるから、今のうちに書き留めておこう（感覚を書き留めるって難しいがね）。V-圏の対象は集合だから（集合じゃなくすることもできるかもしれないが、いまは考えない）、素朴集…

青いProof Theoryの本のラムダ入門（P.12あたりから）のところはいい。それと、やっぱり青い（濃いツルツル青）のあの定番教科書も。

シーケント（シークエント）計算と自然演繹の関係を考えるとき、次の対応を想定するとよい。 ＼ 式 推論 自然演繹 対象 射 片側シーケント 点射 射から導かれるオペレータ シーケント 射 オペレータ 点射（あるいは点、element）とは、1→A という形の射、オ…

ゲーデル化、レイフィケーション、コンパイルなどはすべて同じこと。バエズのスノーグローブも、（おそらくは宗教的な起源を持つ）手塚治虫が「火の鳥」で示した世界観も同じに思える。要するに、世界を外部からみる視点と世界のなかに棲む主体からの視点の…

※ この記事は 2009-01-09 のものだが、時刻は 2013-09-14 。後からタイムスタンプを追加した。 Title: A BRIEF INTRODUCTION TO COALGEBRA REPRESENTATION THEORY Author: William Chin URL: http://condor.depaul.edu/~wchin/crt.pdf Pages: 18ページ 短い…

http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2006/ http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2007/ http://math.ucr.edu/home/baez/qg-spring2007/ http://math.ucr.edu/home/baez/atmcs2008/ シーリィの1987年の論文 "Modeling computations: a 2-categorical fr…

Vが対称モノイド閉圏だとして、□がモノイド積、[-, -]はベキ（指数）とする。そのとき、対象A, B, Cに対して、V内で結合を与える射cA,B,C:[A, B]□[B, C]→[A, C] を定義したい。まず、次の自然演繹証明図を考える。 A⊃B A ----------[MP] B⊃C B ----------[MP…

毎度毎度、、、 さまざまな「ならば」達も参照。構文 項 term 基礎項＝閉じた項 ground term = closed term 論理式 formula 閉じた論理式＝文 closed formula = sentence 命題論理式 propositional formula 言明 statement 素論理式＝原子論理式 prime formu…

反射的対象（reflexive object）に関する良い文献が見つからないなー。まー、いいか。ベキ（指数）を持つ圏において、[A, B]をベキ対象（power object, exponent, exponential object）だとする。対象Rが反射的とは、[A, A]がAと同型になること。デカルト圏…

1990年の "Liniear logic, domain theory and semi-functors"（http://www.cs.uu.nl/research/techreps/repo/CS-1990/1990-34.pdf）をざっと眺めた。おもしろーい。それほど難しくはないのだが、僕がまったく知らないことが色々と書いてある。ジラール圏（Gi…

随分古いのがある。プロジェクト・ユークリッドは助かるなー、感謝。 COLIMITS IN TOPOI 1973 -- http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?handle=euclid.bams/1183535542&view=body&content-type=pdf_1 Cartesian closed categories, qu…

一般化距離空間はけっこう面白いな。d(x, y) = 0 ⇔ x≦y または双対的に、d(x, y) = 0 ⇔ x≧y と定義すると順序構造ができる。普通の距離では、この順序は自明（離散順序）にしかならないが、一般化距離では自明でない例が作れる。また、順序構造に対して、距…

昨日： もう正月はいいや。普通に戻りたーい。 名目上は明日から始動だし、今日の曜日は日曜でもあるが、アタマが腐りそう（いや、腐っているか？）だから、なんか書いておこう。"Short Introduction to Enriched categories" の第2章、つまり後半の豊饒圏論…

もう正月はいいや。普通に戻りたーい。ウィリアム・ローヴェルのアレなんだが、(a o- b) = max(a-b, 0) という制限差により、[0, ∞]自体、一般化距離空間になる。これは、[0, ∞]を高度と考えた坂道の空間で、距離は、なんらかの意味で移動の労力（滑り降りる…