V-豊饒圏の扱い方

V-豊饒圏の扱い方の感覚が少しわかった。こういう感覚はほっておくとすぐに失われるから、今のうちに書き留めておこう（感覚を書き留めるって難しいがね）。

V-圏の対象は集合だから（集合じゃなくすることもできるかもしれないが、いまは考えない）、素朴集合論で扱うことになる。V-圏はもちろん、V-関手、V-自然変換など、すべてが、Vの対象／射のidexed familyになる。CがV-圏なら、各種familyのindex setは|C|、|C|×|C|、|C|×|C|×|C|などになる。indexらしさを出すためブラケットを使うとして：

1. ホム対象 |C|×|C| indexed な対象族 C[a, b]
2. 恒等射 |C| indexed な射族 u[a]:1→C[a, a]
3. 結合 |C|×|C|×|C| indexed な射族 c[a, b, c]:C[a, b]□C[b, c]→C[a, c]
4. 関手の対象パート |C| indexed な対象族（ただし、対象はV内にはない） F[a]∈|D|
5. 関手のホムパート |C|×|C} indexed な射族 F[a, b]:C[a, b]→C[Fa, Fb]
6. 自然変換 |C| indexed な射族 φ[a]:1→[Fa, Ga]

関手も自然変換も族であるが、関手性（functor-ial-ity）、自然性（natural-ity）はV内の可換図式で表現できる。関手性はダイレクトだが、自然性は少しとまどうかもしれない。

以下では、(a, b) := C(a, b), (a, b)' = D(a, b), a' = F(a), γは結合、εが恒等、モノイド積はjuxtaposition という略記を使って関手性を書き下す。

F(f;g) = F(f);F(g)
 (a, b)(b, c) -- F F → (a', b')'(b', c')'

     ｜                      ｜

    γ                       γ

     ↓                      ↓

   (a, c) ----- F ------→  (a', c')'
F(id_a) = id_Fa
  1     ====      1        

  ｜              ｜

  ε              ε

  ↓              ↓

 (a, a) -- F → (a', a')'

V内の等式で書くなら：

• (F F);γ = γ;F
• ε;F = ε

さて、自然性だが、普通に書くと：

φ::F⇒G
 Fa - φ_a → Ga

 ｜           ｜

 Ff           Gf     

 ↓           ↓

 Fb - φ_b → Gb

だが、V-自然変換では、φ_a:1→[Fa, Ga] という |C|-indexedなVの射族であたえられるから、このままでは解釈でない。次の2つの列に分ける。

1. Fa - φ_a → Ga - Gf → Gb
2. Fa - Ff → Fb - φ_b → Gb

これをさらに：

1. 1 (a, b) -φ_a G →[Fa, Ga][Ga, Gb] → [Fa, Gb]
2. (a, b) 1 - F φ_b → [Fa, Fb][Fb, Gb] → [Fa, Gb]

として、可換性を等式で主張すると：

• (φ G);γ = (F φ);γ

これは、Vの対象 (a, b) と [Fa, Gb] の間の平行対(φ G);γ, (F φ);γ の等値核により自然変換が表現できることを示す。この事情をハッキリとさせるためには、自然とは限らない、関手間の変換について考えないといけない。が、疲れたから後日。

[追記]あまり日がたつとまた忘れるな。C, DがV-圏なら、ベキ圏D^Cが再びV-豊饒になる。これは、V-Catがベキを持つってことだから重要。その背景・理由は、Nat(F, G)がVの対象として確定することだが、どうやってNat(F, G)をVの対象だと思えるか？ ってのがヨク考えるべきことで、Vの完備性が効いてくる。

Vが完備だと、|C|⊆|V|であるようなV-圏の記述は、Vの対象と射だけで完結してしまう。雰囲気的に言えば、C⊆V ならば C∈V ってこと。やっぱり詳細は後日か。[/追記]