右と左 n-たび セリンガーの左右

セリンガーの"A survey of graphical languages for monoidal categories"を眺めていて気付いた。彼は、右肩に星が付くA^*を「右双対」と呼んでる。

復習：まず、白旗さんの "A sequent calculus for compact closed categories" (http://citeseer.ist.psu.edu/shirahata96sequent.html)

Definition 1

In a monoidal category, a left adjoint of an object A is an object A^* with maps

• d_A:I→A×A^* (unit)
• e_A:A^*×A→I (counit)

such that ...

次にバカキリ本：

(p.29)
DEFINITION 2.1.1

Let C be a monoidal category and V be an object in C. A right dual to V is an object V^* with two morphisms

• (2.1.3) e_V:V^*×V→1,
• (2.1.4) i_V:1→V×V^*,

such that ...

で、セリンガーのテキスト：

(p.18)

Definition ([17]). In a (without loss of generality strict) monoidal category, an exact pairing between two objects A and B is given by a pair of morphisms η: I → B×A and ε: A×B → I, such that the following two adjunction triangles commute: ... (4.1)

In such an exact pairing, B is called the right dual of A and A is called the left dual of B.

用語と記号を合わせて、余単位を書いてみると：

1. 白旗さん A^*はAの左双対 A^*×A→I
2. バカキリ A^*はAの右双対 A^*×A→I
3. セリンガー A^*はAの右双対 A×A^*→I

状況は悲劇的； 白旗さんとバカキリの定義は同じだが左右が逆、バカキリとセリンガーは同じ言葉に逆の定義。統一されているどころか、考えられるすべてのバラエティがある。

「右肩星なら右双対」は憶えやすいからいいのだが、A^*×A と A×A^* のどっちがいいかは趣味の問題か。A^*×A が多いような気がするし、線形代数の双対とペアリングとの相性はいい、<x, f> より <f, x> のほうが多いだろう。

ところで、ストリートのように、双対と随伴を区別しないとどうなるか？ F -| U のとき、UはFの右随伴と呼ぶべきだろう。UをF^*と書くことにすると、余単位は、ε:F・F^*→I となる。ここで、・は反図式順の関手結合。つまり、非対称テンソル積を反図式順結合にするなら、セリンガーの用法と整合する。一方、図式順結合を採用すると、ε:^*U;U→I となり、また違う記法になってしまう。

どうやってもうまくいかないのだが、現状での僕の態度としては、

1. 右双対は右肩の星（憶えやすい）
2. 右双対は余単位の定義域の右側に置く
3. 右随伴は -| の右に置く
4. 左右を整合的にするために、テンソル積としては反図式順結合を採用する

なお、⊥が双対化対象のとき

1. ^*A = ⊥ o-- A = ⊥^A
2. A^* = A --o ⊥ = ^A⊥

だと思う。このときはやっぱり左右がひっくり返る。全面的に左右を揃えるのは所詮無理なのだ。