フーフマン（Hoofman）の線形圏

「全然知らないことが山盛り載っていた」のフーフマン（R. Hoofman）論文における線形圏（linear category）の定義を述べる。他の著者は、線形圏に別な定義をしているかも知れない。

記号の準備

フーフマンによれば、線形圏とは、双対化対象（dualizing object）を備えた対称モノイド閉圏である。台となる対称モノイド閉圏を (C, □, 1, σ, --o) とする。--o は線形含意の記号だが、モノイド積□に随伴な閉圏のベキ（power, exponent）とする。左指数(右向き矢印） --o と右指数（左向き矢印） o-- をここでは区別しない（対称性から）。強いていえば、左指数＝右向き矢印を標準とする。

評価（適用）射evとカリー化オペレータは次のとおり：

• ev_A,B : (A --o B)□A → B
• Λ_A,C^B : C(A□B, C) → C(A, (B --o C))

最近の僕の好みから言えば：

• Λ_A,C^B : C(A□B, C) → C(A, (C o-- B))

なのだが、C o-- B = B --o C とすれば区別は付かない。

さて、対称σを使って引数の順序を入れ替えたものを

• ev'_A,B : A□(A --o B) → B
• Λ'_B,C^A : C(A□B, C) → C(B, (A --o C))

フーフマンは、ev'とΛ'を基本に考えているので、彼の記法ではev'がev、Λ'がΛ。だが、僕は逆の流儀だから、あえてプライム（ダッシュ）を付けるのだ。

これで準備は終わり。

双対化対象

双対化対象（dualizing object）とは、単に選ばれた対象のことではなくて、それに付随する射の族、つまり圏的オペレータのシステムである。具体的には、

• 特別な対象 ⊥∈|C| がある。
• 射の族 τ_X:X→((X --o ⊥) --o ⊥) がある。

このτは次のように定義される。

  ------------------------- Id

  (X --o ⊥) → (X --o ⊥)

  ------------------------- Λ'

  X□(X --o ⊥) → ⊥

  ------------------------- Λ

  X → (X --o ⊥) --o ⊥

どんな対称モノイド閉圏でもτの定義はできる。このτが同型になるとき、双対化対象と呼ばれる。

X^* = (X --o ⊥)と定義すると、X→X^** が同型なので、(-)^*はスターオペレータになる。(-)^*だけを考えて、--o を忘れると、(C, □, ⊥, σ, (-)^*)はコンパクト閉圏になり、B^*□A = B o-- A = A --o B となるはず。（細かい計算はしてない；課題）

¬A = (A --o ⊥) とすれば、論理っぽい。線形圏では、二重否定が成立するから、否定に関しては古典論理やコンパクト論理と似ている。ド・モルガン律を使ってテンソル積にに双対的なテンソル和を定義できるが、コンパクト閉圏なら積と和が一致してしまう。積と和が一致しない線形圏てなんだろう？