ピノキオを人間にする

Xが集合でVが対称モノイド圏、[-, -]:X×X→V がV-圏の構造を与えているV値ホムだとする。モノイド単位を I∈V として、C(A, B) = V(I, [A, B]) とすると、X×X上の集合値ホムC(-, -)が通常の圏を定義するはず。これがピノキオから人間を作る標準的な方法。

Cが閉圏のとき、ベキにより自分自身で豊饒化すると、内部ホム[-, -]ができる。/C/(A, B) = C(I, [A, B]) で定義される外部ホム/C/（と、それから作られる圏）はもとの圏Cとどう関係しているんだろう？ /C/がCを再現する条件は何だろう？

そういや、豊饒圏の短いテキストを途中までやって、まとめてないなー。いかん。

[追記]

/C/(A, B) = C(I, [A, B]) = C(A, B) は、Cが閉圏なら自明に成立する。f::T :⇔ f∈C(I, T) と定義する。Tが[A, B]の形をしているときは、

• f::[A, B] ⇔ f∈C(I, [A, B]) ⇔ Γ(f)∈C(I×A, B)

となる。ΓはΛの逆。

[/追記]