http://moonstone.math.ncku.edu.tw/AlgebraConference/golantalk.pdf

ダブル・ダガー公式（不動点の対角性）は： (f†)† = ((A+Δ);f)† ダガー（不動点オペレータ）がトレースで定義されている状況で、これを示す。まずは次の簡単な補題： TrX+X(f;Δ;(Δ+X)) = TrX(TrX(f;Δ);Δ) TrX+X(f;Δ;(Δ+X)) //↓バニッシング = TrX(TrX(f;Δ;(Δ…

Kozen圏で、f:A+X→B+X のトレースは次のように表現できる。（ιは入射、πは射影、ブラケットは特に意味はなく単なる括弧） ι1A,B,X;[(π1A,B+X);f;(ι2A,B+X)]*;π2A,B,X なんか複雑だが、この形は絵算の“次元解析”で容易に得られる。 fの正方化R(f)を次のように…

脈絡は過剰に気にすることはないだろう。後からリンクを張ればいい。

ホプキンス（Hopkins）／カール（Kahl）／木下等によりKleene圏が定義されているが、事実上のKleene圏の創始者はデクスター・コゥゼン（Kozen）のような気がする。それで、Kleene圏のバリアントをKozen圏と呼ぶことにしよう。（コォゼン圏（Kozen圏） 再び -…

箱を囲んで回り込んでいるワイヤーをほどいて真っ直ぐにする操作は割と出てくる。 見た感じから、ヤンキングを使うことは予想できるが、手順は次のようにする。 クロス（対称ブレイディング）のスワップ公式で、箱をループから外に出す。 右タイトニングを使…

絵算のコツ（ダミーワイヤー） - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の件：まず、余デカルト圏のElgot反復と、デカルト圏のConway不動点から、トレース・オペレータをもう一度作り出す絵。 律儀に、θ、σ、+（または、!、σ、×）を組み合わせて準備をしている。…

意外と少ない。 google:coalgebra Robert Goldblatt

射影と入射は確かに双対だ。絵算の観点からは、どちらもダミーワイヤーを導入するときに使う。ダミーワイヤーは繋がってない（通電してない）ワイヤーで、捨てても同じ。配線の帳尻を合わせるために適宜挿入する。絵算でダミーワイヤーは必須だけど、どうせ…

C = (C, +, 0)が双デカルト・モノイド圏とする。X∈|C|が単純だとは、Xは0に同型でなくて、「monoなi:S→Xがあるとき、S≒0またはS≒X」なこと。Cが単成的（単項生成的）とは： 単純対象が（同型を除いて）1つしかない。 すべての対象は半単純、つまり単純対象の…

関連： 圏とloopingオペレータのまとめ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 絵算でゴー：looping - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 Elgotダガー - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ElgotダガーとConwayダガー - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 トレース…

上の絵を見てると言わずにおれん。Elgot反復を双対圏で考える。余デカルト圏の双対圏はデカルト圏だから、余Elgotオペレータはデカルト圏に働く。面倒なので、余Elgotoオペレータも上付きの#で示す。普通は†で示して、Conwayオペレータと呼ぶ。もとのf#の絵…

次の各種loopingオペレータを絵で示す。“圏”はトレース付き対称モノイド圏の範囲で考えるとする。 デカルト圏：Conway不動点オペレータ -- 上付きダガーで示す。 余デカルト圏：Elgot反復オペレータ -- 上付きシャープで示す。 双デカルト圏：Kleene繰り返し…

まず、双デカルト・モノイド圏における行列を説明する。行列の定義は、直積と直和があればできるが、双デカルト・モノイド圏じゃないと面白くないだろう。双積は+, 零対称を0、0からの唯一射をθ、0への唯一射を!、対称ブレイディング（クロス）をσ、対角をΔ…

説明はいずれ。

http://www.grammars.grlmc.com/Grammars/GRLMC/PersonalPages/ze/tarragonaindex.html Zoltanのaの上と、EsikのEの上にプラムみたいなダイアクリティカルマークが付いている。なんて読むか？わからん！ハンガリーの人で、Bloom & Esik "Iteration theory"の…

同日のエントリなど、空間的（むしろ時間的か）に近い位置であっても、リンクを張る。でないと、単独エントリーだけを見たときにとまどうことになる。

Int構成（またはGoI構成）は、トレース付きモノイド圏から自由なコンパクト閉圏を定義する関手。つまり、Int:TrMonCat → KCC、これはKCC（コンパクト閉圏の圏）からの忘却関手と随伴のはずだから、モナドを定義する。これのKleisli射は、トレース付きモノイ…

こんな感じ。 ＼ 極性なし 極性あり 指標 普通の指標 対話指標 モデル圏 トレース付き圏 コンパクト閉圏 ソフトウェア ライブラリ／ミドルウェア 対話コンポネント

インスティチューションのSen(Σ)上にムーア閉包作用素が存在している状況を考える。参考： 抽象証明系 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 Moore閉包から抽象証明系 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 証明系付きインスティチューション - 檜山正幸のキマイ…

http://citeseer.ist.psu.edu/bloom00iteration.htmlにWilke代数というのが出てくる。A*がAの有限列なら、それはモノイドとなるが、Aの無限列A∞では乗法が定義できない。それで、F=A*、X=A∞として、FとXの組を公理化できる。それがウィルケ代数だと思えばい…

が届いた。早かったし、きれい。いい業者だったみたい。扱いやすいペーパーバック。

Lawvere流セオリー - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の話を少し整理する。ソート付きの指標Σは、ソートを頂点、演算記号を辺とするグラフ（またはハイパーグラフ）とみなせる。FreeCat(Σ)を、Σから作られた圏とする。グラフの圏と圏の圏において、Graph(Σ,…

現象をモデル化した構造は複雑なんじゃなかろうか。ここで、“複雑”とは、規模が大きくて階層的で有機的に絡み合っているということ。so-called“複雑系”の「複雑」とは違う。例えば、代数系を公理化したとき、等式が50も100も出てくると、とても単純な系とは…

はてな記法の:titleを利用して、リンクに見出しをいれたほうがいい。

モノイド圏に（コ）モノイドがあれば、それを使って（コ）モノイダル・スタンピングにより（コ）モナドができる。この方法は、安直だが、けっこう役に立つ。例えば、∇: 1 + 1 → 1 を余対角（folding）とすると、これはモノイドになる。モノイダル・スタンピ…

Σが余代数指標だとして、Σ余代数が普通に定義できる。ところが、Σから代数の仕様を作り出すことができる。そして、そのΣ代数のモデルはBAOになる。BAOは、余代数の状態空間上の述語（部分集合）のブール代数であり、余代数の遷移（アクション）を様相オペレ…

上のXにおいて、X(A, B)は圏になり、X全体は二圏となる。 X(A, B)は余代数の圏とみなせる。 X(A, B)が余代数の圏になるのは簡単だった。H(S) = HA,B(S) = [T(A), P(T(B), S)] とする。余代数f:S → H(S)があれば、それは f:T(A)×S → P(T(B)×S)とみてよい。つ…

Aを文字（とりあえず文字番号、またはコードポイント；最近はコードユニット？）だとして、Bはバイト（8ビット・コンビネーション）の集合だとする。エンコーディングがA→B*という関数で与えられというのは嘘で、それはISO-2022-JPを考えれば明らかだろう。…

次を確認するには、紙と体力を使うしかないのだろう、ヒエー。 参考→Circ-Kleisli構成 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 Cが対称モノイド圏、T, PがC上の強モナドで、PはT上に分配する。この状況で、適当な圏Xがあって、|X| = |C|、X(A, B) ≒ {すべてのSに…