絵算でゴー：行列

まず、双デカルト・モノイド圏における行列を説明する。行列の定義は、直積と直和があればできるが、双デカルト・モノイド圏じゃないと面白くないだろう。双積は+, 零対称を0、0からの唯一射をθ、0への唯一射を!、対称ブレイディング（クロス）をσ、対角をΔ、余対角を∇とする。

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a:X1→Y1, b:X2→Y1, c:X1→Y2, d:X2→Y2だとして、a, b, c, dから定義される射f:X1+X2→Y1+Y2が行列だが、それを有向（左から右）二部グラフで示す（一番上の図）。

一番上の有向二部グラフを変形して二番目の図、これから次の表示を得る。

• (Δ_X1 + Δ_X2);(X1 + σ_X1,X2 + X2);((a + b);∇_Y1 + (c + d);∇_Y2)
• (Δ_X1;(a + c) + Δ_X2;(b + d));(X1 + σ_X1,X2 + X2);(∇_Y1 + ∇_Y2)

この2つの表示が同値であることは次の等式（公理か定理かは、まーいいとして）からわかる。

次に、fとgの積の対（product pairing）を、和の対（sum pairing）を[f, g]とする； = Δ;(f+g)、[f, g]=(f+g);∇ である（ステファネスクは逆の記法を使っているから注意！）。この記法で：

• f = <[a, b], [c, d]> = [, ]

このことを表した絵が三番目、四番目。上記の等式を示すには、次の公式（等式と絵）を使って、直前の結果に帰着する。

• Δ_X+Y = (Δ_X + Δ_Y);(X + σ_X,Y + Y)
• ∇_X+Y = (X + σ_X,Y + Y);(∇_X + ∇_Y)