絵算でゴー：looping

次の各種loopingオペレータを絵で示す。“圏”はトレース付き対称モノイド圏の範囲で考えるとする。

• デカルト圏：Conway不動点オペレータ -- 上付きダガーで示す。
• 余デカルト圏：Elgot反復オペレータ -- 上付きシャープで示す。
• 双デカルト圏：Kleene繰り返しオペレータ -- 上付き星で示す。

• f^† = Fp_A^X(f) = Tr_{A, X}^X(f;Δ_X)
• f^# = Itr_A^X(f) = Tr_X,A^X([θ_A + X, f]) （[,]は和の対）
• f^* = Rep^X(f) = Tr_X,X^X(∇_X;f;Δ_X)

f^#の図から意味のない枝を取り去った図も描いている。もう少しわかりやすいレイアウトで描いてみると下の図、これは簡略型のElgotオートマトン、矢印の向きを逆にすると普通のオートマトン（遷移翻訳系）になる（ただし、出力は遷移先状態をそのまま出力する）。

[追記]f^#は次でもいいな。

• f^# = Tr_X,A^X((X + f);(σ_X,A + X);(A + ∇_X))

表示は複雑だが、絵としてはかえってわかりやすい。[/追記]

やっぱり、絵算はオモシレー。