指標と関手モデル - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

Lawvere流セオリー - 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編の話を少し整理する。

ソート付きの指標Σは、ソートを頂点、演算記号を辺とするグラフ（またはハイパーグラフ）とみなせる。FreeCat(Σ)を、Σから作られた圏とする。グラフの圏と圏の圏において、Graph(Σ, U(C))≒Cat(FreeCat(Σ), C)の随伴性がある。Cat(FreeCat(Σ), C)のほうに注目すると、これは関手圏とみなせて、Cat(FreeCat(Σ), C) = Model_C(Σ) = Alg_Σ(C)としてよい。

FreeCat(Σ)の代わりに、FreeCartesianCat(Σ)、FreeMonoidalCat(Σ)、FreeCompactClosedCat(Σ)などを考えて、これらを一般にFreeXCat(Σ)とすると、XCat(FreeXCat(Σ), C) = XModel_C(Σ) だろう、ということ。例えば、CartesianCat(FreeCartesianCat(Σ), C) = CartesianModel_C(Σ)。

一方、Graph←→Cat対応と同じように、HyperGraph←→MultiCat対応がある。圏の種別ごとに、対応するグラフの圏が（ある程度は）定義できる気がする。

ところで、インスティチューションにおいて、Mod(Σ) = Cat(FreeCat(Σ), C) = Graph(Σ, U(C))と考えると、f:Γ→ΣをGraph(Γ, Σ)の射と考えて、f^*:Graph(Σ, U(C))→Graph(Γ, U(C))の定義が自明に近くなる（pre-compose）。