確認できたこと

• 上のXにおいて、X(A, B)は圏になり、X全体は二圏となる。
• X(A, B)は余代数の圏とみなせる。

X(A, B)が余代数の圏になるのは簡単だった。H(S) = H_A,B(S) = [T(A), P(T(B), S)] とする。余代数f:S → H(S)があれば、それは f:T(A)×S → P(T(B)×S)とみてよい。つまり、射＝余代数＝1セル。2セルは余代数の準同型で定義すれば、常識的な定義が得られる。ただし、閉圏でないと途方にくれる。

• Xにトレースが定義できる。

あんだか、よくわかんない。具体例作らないと。

• Cが対称モノイド圏、T, PがC上の強モナドで、PはT上に分配する。この状況で、適当な圏Xがあって、|X| = |C|、X(A, B) ≒ {すべてのSに対する C(T(A)×S, P(T(B)×S))} となる。
• Cが閉モノイド圏のとき、H(S, A, B) = [T(A)×S, P(T(B)×S)] とすると、Hはnotion of processとなる。

これは、定義がシッカリと書き下せれば同時に解決しそう。T = (-)*, P=Powの状況で考えてみよう。