http://www.imsc.res.in/~sunder/canq.pdf ジョーンズ（Vaughan Jones）とサンダー（V.S. Sunder）による図だが、あれは平面タングル（planar tangle）と呼ぶ。だけど、全然実情を表してない言葉だ。平面つっても使うのは円環領域（環帯；annulus, annular d…

iIY圏は発音しにくいのでY*圏にしよう。 Y0 = i Y1 = I Y2 = Y Y3 = (YI);Y = (IY);Y 関連することは： MapFO MapFOによる表現、1の3乗根 MapFOによる表現、右自明モノイド＝更新（破壊的代入）モノイド MapFOによる表現、1の2乗根、involution、一般化した…

どうも、圏の公理とは別に、なんらかの事例によって刷り込まれた期待、思いこみのようなものがあって、 圏の対象（の実体）は××○○でなくてはならない。 圏の射（の実体）は××○○でなくてはならない。 その他、idは、compは、… は××○○でなくてはならない。 の…

[追記] 順序は次のようかな。 MapFO MapFOへの表現、1の3乗根、1の2乗根、自明モノイド＝更新モノイド Nに関する小物圏いろいろ PMapFO PMapFOに関して、二項定理と付点構成（モナド） RelFO RelFOに関して、非決定性写像 RelFOに関して、RelFO = MatΩ(FO) …

声トレというのがあるらしい。顔トレはないのか？まーともかく、シャベリの基本としての発声は大事だと思う。健康にもいいらしいぞ。本も出ている。

関手 KA = λX.A I = λX.X (A×) = λX.A×X (+B) = λX.X + B λX.(X×X + 1) 代数あるいはマグマ自己関手Fに対してF代数という言葉を使うが、あれはFマグマだろう。何の法則もないのだから。K1 = λX.1 という定数関手に対して、K1代数＝K1マグマの圏は点付き集合…

関手SqSq(A) = A×A, Sq(f:A→B) = (f×f:A×A→B×B) 。これは対象[2] = {1, 2} によって共変主表現される。関手DoubleSqの直和版。これは対象[2]のスタンピング。反変ペキ集合関手Pow、これは対象[2]で反変主表現される。反変3値ベキ集合関手[3]により反変主表現…

/* MapFO.js -- Map Category over Finite Ordinals */// 整数の区間を作る // （一般的にも使えそう） function seq(n, m) { // n, mは整数、n ≦ m と仮定 var a = new Array(); for (var i = 0; i <= (m - n); i++) { a[i] = n + i; } return a; }// 名前…

/* HSCat.js -- Hiragana Shiritori Category *//* * 一般的な文字列処理関数 */// 文字列の連接 function concat(s, t) { // s, t は文字列と仮定 return String.prototype.concat.call(s, t); }// 文字列の最初の文字（ただし文字番号が返る） function fi…

http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20090422/1240369226 要するに不調！ あーシンド*1。それはそうとして、モナドの相関図を考えてみる。 項モナドの仲間達 リスト −似てる→ 列挙、バッグ バッグ −平均値を取る→ 平等な凸結合 アフィン −定数を落とす→ 線形 −…

凸結合を意図的に取り上げてみようかな。 凸結合モナドのクライスリ圏の自己射は確率遷移系になるね。 かなりの数のモナドがスタンピングで説明できる。 代数項としても説明できる。 ツリーモナドは親玉みたいなもんだ。 自然数の有限部分集合の順序集合（＝…

そろそろ出し物を決めないとなー。どれがいいだろう？コレクション系モナド： リスト、列、string, word セット（有限）、enum、有限ベキ（共変） バッグ 型なし（非制限的な）レコード スタンピング系モナド： 代入（更新） エラー（単純）、未定義、Maybe …

予約ページ http://www.revn.jp/grms/pub/pc/schedule.php は http://www.ginzarenoir.jp/ にリダイレクトされてしまう。https://www.revn.jp/grms/usr/reservation.php も同じく http://www.ginzarenoir.jp/ にリダイレクトされてしまう。ブックマークして…

リストモナド＝列モナドの代数は、a:A*→A だから、任意のnに対するn講演算を備えた集合。a:A+→A なら、0項演算（特別な定数）はない。Idモナド（自明モナド）の代数は任意の自己射になる。Rに対して、a:R*→Rに対して、a(空) = 7, その他は平均値の2倍とか定…

順序集合のイデアル完備化はモナド。つうか、完備化ってたいていベキ等モナド。

もうセミナーネタとは言いがたいが：モノイド閉圏Cから作ったハロ多圏のなかでは、いくつかの結合が考えられる。 右マッチ結合：多対象の列を右から順に比較して一致する部分を結合する。 左マッチ結合：多対象の列を左から順に比較して一致する部分を結合す…

規則 MP' : A, A⊃B |- B A A⊃B ----------[Exch] A⊃B A ---------[MP] B規則 ∧の交換 : A∧B |- B∧A A∧B -------------------[Dup] A∧B A∧B ----[Sel-2] ----[Sel-1] B A ---------------[And] B∧A規則 Cut : A⊃B, B⊃C |- A⊃C #1 --- A⊃B A ---------[MP] B B…

foundational, fundamental

2009-03-19セミナーでは扱わないけど（いや、触れるか？）。 A B --- --- . . . . A∨B C C ‖ ↓ #1 #2 --- --- A B --- --- . . . . A∨B C C -----------------[∨消去 #1, #2] C∨消去は⊃の導入と似た感じになる。∨の導入は簡単で、∧の消去と双対。否定に関し…

ターンスタイル http://en.wikipedia.org/wiki/Turnstile http://en.wikipedia.org/wiki/File:Turnstile.alewife.agr.jpg ギローの図とウィラートンの図 http://arxiv.org/abs/math/0612089 http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0612/0612089v1.pdf P.30 htt…

※日付はダミー：実際の執筆・公開日は2009-03-14最初にホワイトボードの写真があって、その直後に説明があります。（本編の「紙芝居：ラムダ抽象」とは、写真／説明の順序が逆ですね ^^;） 関数は昔「函数」と書いてたのよ。「函」は函館のハコだから「箱」…

モナドの例いろいろを考えている。このなかで、 切り上げ 整数有限区間を拡げる 有効単純グラフの推移的閉包 平面内の図形の凸閉包 あたりが面白いかな。背景となる圏はそれぞれ： 実数が対象、順序が射 区間が対象、単調写像が射 有効単純グラフが対象、辺…

とりあえず列挙する。 列（リスト）モナド バッグモナド セットモナド＝非決定性モナド 型なしレコードモナド（フィールド名は連接モノイド） 付点モナド（1点の直和スタンピング）＝部分関数モナド 一般の直和スタンピングモナド＝例外モナド 大域更新モナ…

中学程度の素材でも例を作れるな。要するに、 式の計算 値の計算（小学校） 式に値を代入 式に式を代入 式の計算と値の計算の関係（どのタイミングで代入してもよいこと） とかはモナドだ。半環＝複合モナドも、中学で普通に扱うからベックの法則も射程内か…

Lecture型 Discussion型 Training型

プログラムの実現はハードウェアでもソフトウェアでもよい。区別はしなくてもよい。 関数のパラメータ族（parameterized family）は2変数関数とみなせる、パラメータの具体的指定が引数の具体化 無名変数を、-, _, *, ・ などで表す習慣がある。 日常感覚が…

Aが勝手な集合のとき、a, b∈A に対して、a・b = b として右自明演算が定義できる（左でも同様）。これは半群になるが単位元はない。単位元eを人為的に添加して A+{e} とすると、これはモノイド。右自明モノイドと呼ぶ。A→A である写像の全体End(A)に右自明モ…

次のように述べることができるだろう。 前もって、命題変数と型名（型記号、型変数）の対応があるとする。 命題論理式と型表現（type expression）の翻訳をτで示す。 命題論理式Pの（仮定なし）証明と、τ(P)で型付けされた閉じたラムダ式が対応する。 証明の…

A1 任意のnに対して掛け算 (*n) : 1→1 足し算 (+) : 2→1 xだけ、x, y、x, y, zに関してどんな出力が出来るか？ なんらかの標準形（正規形）は定義できるか？((x + x) + x) + x, (x + x) + (x + x ) を描くとどうなる？A2 Δ : 1→2 (+) : 2→1 xだけ、x, y に関…

Δ：1つのモノをコピーして2つにする 対角（diagonal） 余加法（coaddition） 分岐（blanching, ramification） 重複（duplication, duplicator） コピー（copy） クローン（clone） フォーク（fork） 水増し（weakening, thinning） σ：2つのモノの並び順を…