モナドの代数

リストモナド＝列モナドの代数は、a:A^*→A だから、任意のnに対するn講演算を備えた集合。a:A⁺→A なら、0項演算（特別な定数）はない。Idモナド（自明モナド）の代数は任意の自己射になる。

Rに対して、a:R^*→Rに対して、a(空) = 7, その他は平均値の2倍とか定義してもいいから、代数がよく知られた法則性を持つわけではない。単なる演算で、そのアリティが関手で与えられるだけ。

という事情だが、多くの場合、モナドに対して都合がいい代数、典型的な代数があるから、それを挙げておく。

モナド	典型的な代数	追加の法則
リスト（列）	モノイド	結合、単位
非空リスト	半群	結合
有限ベキ	半束	結合、単位
べき	CPO	最小上界に関する法則
バッグ	可換モノイド	結合、単位
凸結合	凸空間	凸空間の公理
線形結合	ベクトル空間	ベクトル空間の公理
直積スタンピング	作用付き集合	作用の結合、単位
付点	基点付き集合	-

こうしてみると、モナドの関手が、アリティあるいは項集合を定義しているのがわかる。ひとつの関手の代数が構造的類をなしている。

直和スタンピングだと、例外（エラー）を正常値に押し込める“代数”がある。