色々な具体例 さらに

[追記]
順序は次のようかな。

1. MapFO
2. MapFOへの表現、1の3乗根、1の2乗根、自明モノイド＝更新モノイド
3. Nに関する小物圏いろいろ
4. PMapFO
5. PMapFOに関して、二項定理と付点構成（モナド）
6. RelFO
7. RelFOに関して、非決定性写像
8. RelFOに関して、RelFO = Mat_Ω(FO)

以上がミニマム。次はY_*圏。

1. 組合せ的記号計算としてのY_*圏
2. 交替律
3. コボルディズム圏としてのY_*圏
4. Y_*圏と算術回路
5. Y_*圏と証明図（ちょっと）
6. 実はMapFOであること。ウソ、実はMonotFO（単調関数の圏）
7. Y_*圏の行列表現
8. MonotFOが単体と退化写像の圏であること

Y_*圏 ＝ FO圏 ＝ 単体圏Δ ということ。

Y_*圏 に対応するコボルディズム圏をYCobとすると、YCobは、Cob^UO₂ の広大部分圏になる。Cob^UO₂ のUOはUnorientedの意味で、コボルディズム（射）が2次元なので対象は1次元。
[/追記]

べき＝関手圏

• C²はC×C
• C^→はCの射を対象として可換四角形を射とする圏
• C^Nは離散力学系の圏
• CがTop上の具象圏だとして、C^Pは連続力学系の圏

MがモノイドのときC^Mの形の圏がいろいろできる。

• M = {1, -1, *}のとき、C^Mはinvolution付きの対象の圏
• M = Nのとき、C^Mは離散力学系
• M = S¹のとき、周期的力学系の圏
• M = A^*のとき、オートマトンの圏

離散力学系の圏で Nat(1~, F) は軌道集合になる。１つの軌道が自然変換に対応する。米田の補題から Nat(1~, F) = F(1) = X（力学系の台） となり。軌道は始点で決定される事実と対応する。

スライス／余スライス

• Set＼[1] は点付き集合の圏
• Set／[2] はC×Cと同じ

随伴

• 圏の圏から集合の圏へのObjと、余離散圏を対応させるCodisc
• C(X, A×B)≒C²(Δ_X, (A, B))
• 上の同型は、C(X, Lim F)≒C^D(Δ_X, F) は特殊な場合

Natural-Number-like Structure

• 自然数
• 初期領域を持つ離散力学系
• 非決定性オートマトン
• コンピュータシステムの低水準モデル（アドレス空間上のビット模様の遷移）

Nに関係した例

• NA ：Addition 足し算モノイド
• NM ：Mutltiplication 掛け算モノイド
• NO ：Order 普通の順序集合
• NMA ：Modified Addition 変形した足し算モノイド n#m = n + m - 1、|NMA| = N₊
• NMT ：Multiplicative Transition 乗法的な遷移の圏
• NMO ：倍数順序の圏

NMTだけ説明する。|NMT| = N、NMT = {(a, x) | a, x∈N, x≧1}、等しさは普通に定義する。

• dom(a, x) = a
• cod(a, x) = a*x （掛け算）
• id_a = (a, 1)
• (a, x);(b, y) = (a, x*y)

NMT(0, 0)、NMT(0, 1)、NMT(1, 1)、NMT(1, 3)、NMT(2, 3) などを調べる。

他に、|C| = {0, 1}、C(0, 1) = N でもいいし、N上の離散圏（ND）、余離散圏（NCD）もある。

名前	Obj	Morph
ND	N	N
NCD	N	N×N
NA	{0}	N
NM	{0}	N
NO	N	N×Nの部分
NMA	{0}	N+
NMT	N	N×N+
NMO	N	N×Nの部分

IJY圏

• 自然数が対象
• 文字I, J, Y を並べた文字列が基本射、空文字列でもよい。
• 記号Y_nを入れて、同値関係と正規形を考える。
• I:1→1, J:1→0, Y:2→1, dom, codは連接に対して加法的に定義する
• id_n = (Iをn個並べた文字列)

その他

• 全射の圏はE集合＝settoidの圏
• 対合を持つ集合上で、非不動点集合を求めると、余等値射の例になる。
• 指数法則 (A^C)^B = A^B×C はどう示すか？
• 右自明モノイドの表現を詳しく
• RDBのjoinはファイバー積