あとで描く。

RとΩは半環。RからΩへの縮約と呼ばれる半環射χがあるとする。具体例としては、R=N、Ω={0, 1}、χ(0) = 0, それ以外はχ(n) = 1とする。R係数の行列A、Bがあるとする。A∈MatR(n, m), B∈MatR(k, l)。P∈MatΩ(n, k), Q∈MatΩ(m, l)の組(P, Q)を考える。RからΩへの縮…

自然数が対象の圏、なんか定着した用語がないようだな。ローヴェルの代数的理論（Lawvere's algebraic theory）もその例だし、行列圏もその例、単体圏も（代数的理論だからもちろん）そう。n個の円周を境界とする曲面の圏をコンパクト閉圏と考えればこれも例…

そういえば、次のような絵を描いた。行列または形式テンソルの計算で3ーセルが登場する。その状況の絵だね。AとA'はシェイブ（プロファイル）が I→J である半環圏の対象を係数とする行列。αはアダマール2-セル -- つまり、αもI→J型の行列だが、成分が同じ半…

高次オートマトンとかはあまり意味があるように思えなかった。が、そうでもない、役に立ちそう、と気付いた。まずは基本的用語を準備； 有向グラフにさらに有向2-セルを考えた構造を2-グラフと呼ぶことにする。ただし、2-セルの形状が色々あるから区別しなく…

セリンガーの http://www.mathstat.dal.ca/~selinger/papers/catasynch.pdf などを参考に、ラベルなし（単純）のケースで述べておく。s, s'∈S, t, t'∈T、双模倣を与える関係をR⊆S×T、遷移（1ステップ）を矢印で表す。また xRx' を x〜x' で示す。 s〜t, t→t'…

トム・レインスター（TOM LEINSTER）の"OPERADS IN HIGHER-DIMENSIONAL CATEGORY THEORY" (2004)をほんの少し読んだ。オペラッドって言葉を目にしたことはあっても、ほとんど知らない。レインスターによると、複圏と同じらしい。対象が１つしかない複圏を特…

"Lectures on n-Categories and Cohomology" http://arxiv.org/abs/math/0608420 は、バエズ（John C. Baez）の講演をシャルマン（Michael Shulman; マイケルかミハエルか？）がまとめたもの。バエズはホントに面白い話をする。P.10からP.13を読んだだけだが…

ケリー双対については、http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20070331 に書いてある。直進圏は http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20070426/1177562726、軸的圏は http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20070329/1175144493 。 種類 左双対 右双対 左＝…

対蹠作用素（antipodal operator）の弱いバージョンを考える。モノイド積は並置で表す。 τA:A##→A ι:I#→I δA,B:(AB)#→B#A# とりあえず思いつく一貫性。可換図式じゃなくて、棚みたいな書き方をする。 I## ↓(ι)# I# ↓ι Iequals I## ↓τI I ((AB)C)# ↓δ C#(AB)#…

(C, +, 0)に関する結合性同型（associator）、単位性同型（unitor）、対称（symmetry, permutation symmetry, symmetric braiding）を、β、ηL、ηR、σとする。ηの上付きL, Rは左と右を表す。(C, ×, 1)に関する結合性同型、単位性同型は、α、εL、εRとする。×に…

一貫性がよくわからん。けど、なんでもかんでもweak版で考えて、一貫性条件を書き下してみるといいみたい。

まずは絵を見よう。左上：これは、A = (A[1], A[2])、B = (B[1], B[2]) という“対象の列”（対象形式ベクトル）のあいだの行列。f:A→B は、成分射f[i→j]:A[i]→B[j] 達で与えられる。ストリング図で描けば列はワイヤー、行列はオダンゴ。A, Bなどの列の長さは…

ETBダイアグラムの8節に、クロスの公理がある。最後の公理は、クロスにそって射（ボックス）をスワップできることを示す。これは非常に強力な公理だ。クロスをまとめる公式とスワップを使えば、アルチン関係式（ヤン・バクスター方程式）は出る。

a×0 = 0 という法則を与える同型はzerorってことか？ 零性同型？

The Handbookでは、プロ関手（profunctor; http://en.wikipedia.org/wiki/Profunctor）をdistributorと呼んでいる。プロ関手をbimoduleとかmoduleとか呼ぶこともあるそうだが、それはひどすぎるだろう。bimoduleは双加群＝両側加群の意味で使うべきかと思う→…

本編に書いた整数の加減乗除のなかにもひそんでいるヤン・バクスター方程式 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)、ほんとにできないよ。時間を使ってもしょうがないから早々とあきらめているのだけど。使えることって： (x/N)N + x%N = x (x*N)%N = 0 (…

半環圏の一貫性まで含めた完全な定義はよくわからん。が、事例はある。自然数半環としてのNを対象として、標準順序から圏だとみなすと、半環圏。集合圏直和と直積で半環構造を入れる。零対象である空集合は、0×x = 0 を厳密に満たすから強零対象（strong zero…

どう使い分けるのかな？