オペラッド、複圏、モナドの複グラフ

トム・レインスター（TOM LEINSTER）の"OPERADS IN HIGHER-DIMENSIONAL CATEGORY THEORY" (2004)をほんの少し読んだ。

オペラッドって言葉を目にしたことはあっても、ほとんど知らない。レインスターによると、複圏と同じらしい。対象が１つしかない複圏を特にオペラッドと呼んでいるようだ。用語オペラッドが一般化した結果、複圏を色付きオペラッド（coloured operad, clored operad）と呼ぶ人もいるようだ。coloured operadのcolours (colors)が複圏の対象類になるらしい。

オペラッド派	複圏派
プレーン（plain）オペラッド	対象が1つの複圏
色付きオペラッド	一般の複圏

オペラッド／複圏の射はアロー、マップ、multimapと呼ばれることが多いようだ。複射（multimorphism）と呼んでもよさそうだが、あんまり使われていないのかな？

レインスターはアンビエント圏C上のモナドTに対するT-グラフをベースにしている。T-グラフGは、アンビエント圏C内の TA←B→A、A→B という図式対でdom, cod, idを与えるもの。TがSetの恒等モナドならT-グラフは普通の小さいグラフとなる。Tが列モナドのとき普通の複グラフ（ハイパーグラフの特殊ケース）となる。複圏は複グラフ上のモノイド的構造となる。

T-グラフ上にT-複圏が定義できる。A=1として、T1←B→1, 1→B を考えてT-オペラッドが定義できる。アンビエント圏Cも明示すれば、(C, T)-複圏、(C, T)-オペラッドなど。アンビエント圏がCatのとき、圏Cから道の圏Path(C)（またはPath₊(C)）を作るモナドをTとしてのT-複圏はどうなるかな？