半環圏の構造射

(C, +, 0)に関する結合性同型（associator）、単位性同型（unitor）、対称（symmetry, permutation symmetry, symmetric braiding）を、β、η^L、η^R、σとする。ηの上付きL, Rは左と右を表す。

(C, ×, 1)に関する結合性同型、単位性同型は、α、ε^L、ε^Rとする。×に関しての対称性は仮定しない。

δ^L = δ^L_A,B,C :A×(B + C) → A×B + A×C を分配性同型（distributor）と呼ぶ。

さらに、0・a = 0 などに相当する法則が必要で、ζ^L_A:0×A→0 などの同型を考える。左右のζを零性同型と呼ぶことにする。

半環圏は、まずは2つのモノイド構造を持つ。それぞれのモノイド構造を独立に考えてモノイド圏として一貫性が必要。それ以外に分配性（分配法則）と零性（零法則）に関する一貫性も要る。少し書き出してみた（なぜか、対象は小文字、積はナカグロ）。