リボン圏、プレ・リボン圏

H.B. Posthuma "Quantization of Hamiltonian loop group actions"（http://remote.science.uva.nl/~npl/proefschrift.pdf）を見てのまとめ／雑感。

数理物理だと、モノイド圏をテンソル圏と呼ぶことが多いようだ。特に、対象がベクトル空間の時はそう呼ぶ。ブレイド付きテンソル圏（モノイド圏）は、ブレイディング自然変換βを持ったテンソル圏。βとその逆β'によりブレイドが生じる。ブレイディングの公理は次：

βとβ'が等しいとき、ブレイディングは対称（symmetric braiding）に退化する。

テンソル（モノイド）圏において、各対象VごとにV*、η_V:1→V×V*、ε_V:V*×V→1 があり、(V, V*, η_V, ε_V)がジグザグ公式（三角恒等式、剛性恒等式）を満たすとき、剛（リジット）テンソル圏と呼ぶ。

V|→V*を可逆関手とする定義もある。このとき(-)*の逆を*(-)と書く。定義より、*(V*) = (*V)* = V である。剛性の定義は、コンパクト閉性と同じで、数理物理や幾何学の剛テンソル圏とは、結局（多少の揺らぎはあるが）コンパクト閉圏である。

リボン圏（ribbon category）は、剛ブレイド付きテンソル圏にひねり同型（twist isomorphism）を加えた構造である。しかし、双対（随伴）と剛性はなくてもひねり（ツイスト）は定義できる。そこで、ブレイド付きモノイド圏にひねり同型を加えてプレ・リボン圏が定義できる。ひねりの公理は：

• θ_X,Y = (θ_X×θ_Y);β_Y,X;β_X,Y;

ちなみに、リボン圏では θ_X* = (θ_X)* を付け加える。

双対*が存在するなら、半ひねりをρとして、ρの逆ρ'を使って、次のように定義するのもいいように思う。

• ρ_X,Y = (ρ_X×ρ'_Y);β_Y*,X*