半テンソル圏

なんで、忘却関手や具象圏の定義が必要だったかというと、半テンソル圏を定義するため。

まず、V-モノイド圏からはじめる。Vが普通の意味でのモノイド圏だとして、CがVで豊饒化された圏、つまり、V-圏だとして、V-圏としてのテンソル積C×C -- i.e. (C×C)[(A, B), (C, D)] = C(A, C)×C(B, D) in V -- からの双V-関手としてモノイド積（V-モノイド積）が与えられているとき、これをV-モノイド圏と呼ぶ。

モノイド圏VがAb（アーベル群の圏に具体的テンソル積）上の具象圏であり、忘却関手U:V→Abがモノイド積を保存するモノイド関手だとする。このとき、V-モノイド圏をテンソル圏と呼ぶ。Vはテンソル圏の背景（background）圏と呼ぼう。忘却関手V→Abの存在から、テンソル圏は必然的にAb-モノイド圏になる。

モノイド圏VをAbからAbMon（アーベルモノイドの圏に具体的テンソル積）に取り替えて半テンソル圏が定義できる。すべての半テンソル圏CはAbMon-モノイド圏である。V→AbMonから誘導される標準的な忘却関手C=C^(V-cat)→C^(AbMon-cat)を持つ。

AbMon-モノイド圏Cは当然にAbMon-圏なので行列構成ができてMat(C)を作れる。問題はここからで、AbMon-モノイド圏＝半テンソル圏に対して、Matを拡張して古典テンソル計算を行うこと。Matの拡張を「テンソル」と呼ぶと混乱するので複行列（multimatrix）と呼ぶ。

課題：半テンソル圏Cに対して、複行列構成 MulMat(C) を構成せよ。圏（むしろ多圏？）MulMat(C)の性質を調べよ。