対蹠作用、直進圏、最小自由生成

伝統的な用語法ではどうも整理がつかないので、新しい用語法を導入してみる。

まず、対象上双対作用（dualizer on objects）と呼んでいたモノを対蹠作用(素)（antipode/antipodal operator）または単に対蹠（antipode）と呼ぶことにする。双対、対合、共役、随伴、スター、ダガーなどの言い方もあるが、対象上でのみ定義されている点を強調して、別な呼び方を選んだ*1。

原則的に、対蹠(-)^*はモノイド圏で定義され：

1. A^** = A （対合性）
2. (A×B)^* = B^*×A^*
3. I^* = I

ほんとのイコールなら厳密な対蹠、自然同型なら弱対蹠。対蹠が指定された圏を対蹠圏（antipodal category）と呼ぶことにする。

対蹠圏(C, ×, I, -^*)に、さらにケリー単位／余単位η、εが付いてジグザグ等式を満たすとき、直進圏（straight/straightening category）と呼ぶことにする（剛性と同じく、曲がったモノがまっすぐになることから命名）。直進圏はほとんど軸的圏だが、射の双対は考えない。直進圏はいずれ不要になる概念かもしれないが、暫定的にでも整理のために導入する。

実は、最小の直進圏と、その直進圏にブレイディング／対称ブレイディングをいれたものを考えたい。表にすると：

関係する人名	（固有の）生成元	圏の種類
コバノフ	∪,∩	直進圏
トゥラエフ	X+, X-, ∪,∩	ブレイド直進圏
トゥラエフ	X, ∪,∩	対称直進圏
テンパリー／リーブ	H	テンパリー／リーブ圏

Hは(∪;∩)を表す。テンパリー／リーブ圏では、∩と∪はHのなかに閉じ込められているので、ジグザグ等式を直接は書き下せない。が、例えば次のような等式が示せる。

• [(H+1);(1+H)];[(1+H);(H+1)] = ○・H

○=(∩;∪)はループで、抽象スカラーなので、スカラー乗法“・”が定義できる。テンパリー／リーブ圏の適当なテンソル圏Cへの表現Ψがあるとき、Ψ(○)はCのスカラーで、ループの（存在が導く）乗法因子を定義する。

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それで、単一の対象A（single generating object）に対してA^* = A （自己双対、自明対蹠）とした最小直進圏、最小ブレイド直進圏、最小対称直進圏をTuraevゲームで定義したい。

*1:Hopf代数では対蹠を使っているけど。