さまざまなモノイド関手の定義

モノイド関手（monoidal functor）といっても色々ある。まとめておく。CとDがモノイド圏で、モノイド積／モノイド単位は×とIで表す。関手Fと、自然変換φ::(F×F);×⇒×;Fと、Dの射j:I→F(I)の組(F, φ, j)がモノイド関手である定義を述べる。

おおよそ、次のような等式もどきが成立すればいい。

1. F(A)×(F(B)×F(C)) ≒ F[(A×B)×C]
2. I×F(A) ≒ F(A)
3. F(A)×I ≒ F(A)

ここで、左から右に見た≒の解釈が3通りあって：

1. →方向の射
2. 同型射
3. 恒等射

さらに、φとjの向きを逆転して、

1. F[(A×B)×C] → F(A)×(F(B)×F(C))
2. F(A) → I×F(A)
3. F(A) → F(A)×I

と考えることもある。それぞれの場合の呼び名は：

1. →方向の射 ラックス・モノイド関手
2. 同型射 強モノイド関手
3. 恒等射 厳密モノイド関手
4. ←方向（逆向き）の射 オプラックス・モノイド関手

ただし、呼び名は人により相当な揺れがある。

モノイド関手の公理（一貫性）

一貫性の条件を記す。使う記法の説明：

1. A×B を A B のように並べるだけで表す。積の順序は縦棒（|）区切りや括弧で示す。
2. 射は↓φのように書く。
3. 恒等射は名前なしの矢印↓で書く。
4. 従って、↓↓φ は id_A×φ_B,Cの意味になる。

α、λ、ρはモノイド圏の構造射（法則）だとする。

F(A) | F(B) F(C)

   ↓α

F(A)  F(B) | F(C)

   ↓φ↓

F(A×B) F(C)

  ↓φ

F[(A×B)×C]
 equals
F(A) | F(B) F(C)

    ↓↓φ

F(A) | F(B×C)

  ↓φ

F[A×(B×C)]

 ↓F(α)

F[(A×B)×C]

I F(A)

↓j ↓

F(I) F(A)

↓φ

F(I×A)

↓F(λ)

F(A)
 equals
I×F(A)

↓λ

F(A)

F(A) I

↓ ↓j

F(A) F(I)

↓φ

F(A×I)

↓F(ρ)

F(A)
 equals 
F(A) I

↓ρ

F(A)

モノイド自然変換

θ::F→G:C→D がモノイド自然変換だとは、

F(A) F(B)

↓θ ↓θ

G(A) G(B)

 ↓ψ

G(A×B)
 equals
F(A) F(B)

 ↓φ

F(A×B)

↓θ

G(A×B)

 I

↓j

F(I)

↓θ

G(I)
 equals
 I

↓k

G(I)

ブレイドβがあるときは、

F(A) F(B)

 ↓β

F(B) F(A)

 ↓φ

F(B×B)
 equals
F(A) F(B)

 ↓φ

F(A×B)

 ↓F(β)

F(B×A)