ブレイドやタングルの表現とマルコフ・トレース

環（多元環）上の加群が、その環の線形表現と同義であるのと同じように、ブレイド付き圏（braided category）は、ブレイド圏の表現と同義だ。

• 対称付き圏（対称モノイド圏） ＝ 対称の圏（置換の圏）の表現
• ブレイド付き圏 ＝ブレイド圏の表現
• 対称コンパクト閉圏 ＝対称な荷電付きタングル圏の表現
• ブレイド付きコンパクト閉圏 ＝ 荷電付きタングル圏の表現

特に、圏の対象がベクトル空間や加群のときは線形表現になる。

さて、マルコフ・トレースだが、まずは初歩的ブレイド圏Bの上で考える。圏Bで定義されて、環Rに値をとるマルコフ・トレースφとは、次を満たすもの。×はモノイド積（自然数の和に対応）、σはブレイドの生成元σ:2→2。

1. φ(A;B) = φ(B;A) A, B∈B(n, n)
2. φ(A×σ) = τφ(A) A∈B(n, n), σ∈B(2, 2)
3. φ(A×σ^-1) = τ'φ(A) A∈B(n, n), σ^-1∈B(2, 2)

ここで、τ = φ(σ)、τ' = φ(σ^-1)、τ'がτの逆とは限らない！

マルコフ／トレースがあると、適当な正規化因子を付けて、絡み目の不変量が得られる。その正規化因子はちょっと複雑で：

• (ττ')^{-(n - 1)/2}(τ'/τ)^e(A)/2

ここで、e(A)はブレイドAのひねり数w(A)と同じだが、ブレイド語で表示されていれば、ベキ指数の和となる。nはブレイドの釘（紐、ストランド）の数。

ブレイド圏の表現（主に線形表現）と、マルコフ・トレースを考えるのは、ブレイド圏に圏論的なトレースを考えるのと同じような気がする。タングル圏には自然なトレースがあるし、ベクトル空間のテンソル圏にも縮約としてのトレースがある。

結局は、タングル圏を自然にトレース付きブレイド付き圏（traced braided category）と考えて、トレースも含めて線形テンソル圏に表現してしまえば、ブレイドの表現も絡み目の不変量も得られるのではないかと。トゥラエフ移動にマルコフ変形も加えると、組み合わせ的なトレース計算ができそう。

[追記]マルコフ移動って、トゥラエフ移動（Ψ移動）から出るのか？出るかも知れない。[/追記]