続・一般ブラケット

ブラケットの公理は、トゥラエフのΨ移動、ヤンキング、ヤン／バクスター関係式だった。∇がV上の非退化双線形形式、RがV×V上の可逆オペレータ（R行列）として、次を要求する。IdはVの恒等、×はテンソル積、R'はRの逆。

1. (R×Id);(Id×∇) = (Id×R);(∇×Id) [Ψ移動 1]
2. (R'×Id);(Id×∇) = (Id×R');(∇×Id) [Ψ移動 2]
3. R;∇ = α∇ （αはスカラー） [ヤンキング]
4. (R×Id);(Id×R);(R×Id) = (Id×R);(R×Id);(Id×R) [ヤン／バクスター]

可逆行列Rと非退化双線形形式∇から構成される、有向タングル圏上の関手をブラケットと呼ぶ。Rが可逆であることと、ヤン／バクスター関係式から、ブラケットがブレイド圏（タングル圏の部分圏）の表現を与えるのは明らか。

αはヤンキングにより紐にかかるねじれのストレスのようなもの。有向タングルDのひねり数をw(D)とすると、正規化（規格化）因子 α^-w(D) をつければ、全同位（トゥラエフ移動）不変な量となる。特に、Kがカウフマン・ブラケットで、α = (-A³)のとき、Kから正規化因子(-A³)^-w(D)を付けて得られる不変量が（事実上）ジョーンズ多項式。