スケイン関係式

スケイン関係式が、そもそも用語として意味不明だった。すこし調べた。

まず単語「スケイン (skein)」だが、和訳は「かせ」、「一かせの毛糸」とかの用法がある。毛糸を束ねてグリグリとねじったのが「かせ」らしい。ストランドもブレイドも髪の毛と関係あるけど、見た目は女性の巻き毛を連想させる。ようするに、糸や紐が束ねて巻かれてねじられたものがスケインらしい。

それで、スケイン関係式だが、既にアレクサンダー多項式について考えられていたようで、アレクサンダー／コンウェイ関係式とも呼ぶらしい。最近だと、ジョーンズ多項式やホムフリー多項式でもスケイン関係式が出てくる。

一般的に語るため、スケイン・トリプルの概念を準備する。[-]ⁿ_mを上にn点、下にm点を持つ空っぽな四角だとする。[-]ⁿ_mを穴（ホール）と呼ぼう。穴を持つ図式を図式コンテキストと呼ぶ。D[-]²₂で、2-2型穴を持つ図式コンテキストだとする。

図式コンテキストに、具体的なブレイドやタングルを代入できる。それを、D['／]とかD[＼']のように書く。図式コンテキストD[-]に対して、D₊ = D[`／], D_- = D[＼'], D₀ = D[｜｜] で定義される3つ組(D₊, D_-, D₀)をスケイン・トリプルと呼ぶ。

Fが環R（多くの場合、n変数のC係数ローラン多項式環）に値を取る量だとして、F(D₊), F(D_-), F(D₀)のあいだに成立するR内の線形関係をスケイン関係式と呼ぶ。

もっと一般化すると、U₁, ..., U_nを何らかの基本図式、D[-]を図式コンテキスト、F₀, F₁, ... を環や加群に値を取る量だとして、F_j(U_i) 達にあいだに成立する線形関係式がスケイン関係式となる。

ベースとなる環や加群において、F_j(U_i)で生成され、スケイン関係式で割り算した環／加群が不変量の領域となるべきものだろう。