2次元のパッヒナル・ルール

2次元のパッヒナル移動（Pachner move）は、対角フリップと星状細分／融合の二種類。外枠（ローカル変形の境界条件）となるのは四角形と三角形。

これを書き換えルールと考える。ルールが適用される部分複体をリデックス、適用結果はコントラクタムと呼ぶ。これは項書き換えの用語。

リデックスは、単なる複体ではなくて、辺にdirectionが付与されている。対角付き四角形では5辺、星上分割三角形では6辺にdirectionを付与する。

direction（の双対であるco-direction）は自由なわけではなくて、傾向（trend）に対して進行的である必要がある。進行的なco-directionをすべて列挙することが、パッヒナル・ルール記述の最初の作業。

1. 対角付き四角形の進行的co-directionは、4種類＋3種類
2. 三角形の進行的co-directionは、2種類
3. 星状分割三角形の進行的co-directionは、4種類

これらのco-direction付きの三角複体が、パッヒナル・ルールのリデックスとコントラクタムになる。リデックス＆コントラクタムのリストが得られれば、パッヒナル・ルールを書き下すのは難しくない。

パッヒナル・ルールとヌル三角形（ロックされたドアを持つ部屋）を潰す／挿入（増設）する操作を推論規則とする演繹系を作れる。この演繹系による証明が一般的な変形に対応する。

この演繹系（形式的体系＝構文的対象）に対する意味論が、TQFTっぽい関手となる。関手が値を取る圏が“真偽値と論理演算”の圏だが、もっと一般的には“量の計算”の圏と言ってよい。演繹系が計算の構文と手続き、意味論が計算の量的実質を与える。