スケッチと解釈

なにしろ、用語法が一番の問題だ。

ER図を改変した概念モデル図を概念スケッチと呼ぶとして。

1. まずは単なる有向グラフ
2. ノードに不変性マーカーを許す。不変性マーカーの付け方はまったく制限がない。
3. スパンに同時単射性マーカーを許す。概念スケッチとしての制限はない。
4. 三角形にコンポジション・ペインティングを許す。ペインタブル条件がある。
5. 疑似三角形に直積ペインティングを許す。ペインタブル条件がある。
6. 四角形にファイバー積ペインティングを許す。ペインタブル条件がある。
7. 発展的に、(n+m)角形のコンポジション・ペインティングを許す。
8. 発展的に、n角錘（n≧3）に直積ペインティングを許す。
9. 発展的に、n角両錘（n≧3）にファイバー積ペインティングを許す。
10. ニ角形に、転置ペインティングを許す。

この概念スケッチは、圏論的なスケッチで、有限極限スケッチ。それに対して、極限を入れないスケッチもある。

1. まずは単なる有向グラフ
2. ノードに不変性マーカーを許す。不変性マーカーの付け方はまったく制限がない。
3. 三角形にコンポジション・ペインティングを許す。ペインタブル条件がある。
4. 疑似三角形に直積ペインティングを許す。ペインタブル条件がある。
5. 発展的に、(n+m)角形のコンポジション・ペインティングを許す。
6. 発展的に、n角錘（n≧3）に直積ペインティングを許す。
7. ニ角形に、転置ペインティングを許す。

この2つは、単にスケッチとしての種類が違うだけでなくて、想定している具体化方法が違う。圏論的にはモデルが値を取る圏が違う。上は集合圏に、下は関係圏にモデルを取る。この違いがけっこう厄介。

全射はSetモデル、後者はRelモデルだが、「モデル」って言葉がたぶん通じない。集合・写像-具体化と集合・関係-具体化とかだが、ここで「関係」がまた誤解される 、、、 ほんとに酷い状況だ。

苦し紛れだが、「関係≠リレーション」とでもするか。nomenclatureが大問題。

関係≒同時単射的スパン、関係のコンポジション≒スパンのコンポジション、スパンのコンポジションはファイバー積を使う。

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ER図でも、次の概念はある。

1. ドメインノード＝不変ノード
2. 属性写像＝終域がドメインである写像
3. 参照写像＝終域がドメインではない写像
4. スーパーキー＝属性スパンが同時単射

ERモデルは、ドメイン、実体、関連の3階層モデル。いわば、三部有向グラフ。

先端＼根本	ドメイン	実体	関連
ドメイン	関数？	属性	関連の属性
実体	ルックアップ？	写像？	参照
関連	ルックアップ？	対応？	関連参照

関連参照の例：

• '授業'関連は'コース'実体を参照する→参照
• '授業'関連は'教室'実体を参照する→参照
• '授業担当'関連は'授業'関連を参照する→関連参照

アンビエント圏とマーカー／ペインティング

スケッチのモデルが値を取る圏をアンビエント圏とする。マーカーとペインティングを合わせて装飾（デコレーション）と呼ぶ。

装飾	集合圏	部分写像圏	関係圏
全域		アリ	アリ
単葉			アリ
単射	アリ	アリ	アリ
全射	アリ	アリ	アリ
合成	アリ	アリ	アリ
同時単射	アリ	アリ
直積	アリ	アリ	アリ
ファイバー積	アリ	アリ
転置	アリ	アリ	アリ

関係圏では、同時単射性＝キー条件とファイバー積がなくなる。同時単射性は関係の定義に吸収されて、ファイバー積は合成（コンポジション）の定義に吸収される。

転置可能性と順序

• 集合圏での転置可能性（可転性; convertibility）は可逆性と同じで、双射であること。
• 部分写像圏での転置可能性は単射性と同じ。
• 関係圏での転置可能性は無条件。

順序に関しては：

• 集合圏での射の順序は等号に限る。
• 部分写像圏での射の順序は制限順序。
• 関係圏での射の順序は部分集合の包含。