スケッチと塗られた有向グラフ

圏の生成系（表示、指標）とスケッチを一緒にした概念をグラフ理論的に定式化する。

基本になるのは有向グラフで「ノードとアロー」という言葉を使う。ノードとアローから作られる2次元、3次元図形を考える。

• n角形＝n辺形、ただし、辺の向きも考慮する。
• 二角形＝ニ辺形 もある。
• 退化ニ角形＝退化ニ辺形＝両端を持つ線分
• n角錐 n = 3, 4, 5
• n角両錐 n = 3, 4, 5
• 退化ニ角錘＝三角形
• 退化ニ角両錘＝四角形

面（エリア）や領域（リージョン）への色付けを塗り（ペインティング）を呼ぶ。有向グラフから構成されるすべての面や領域が塗れるわけではない。塗れる図形（paintable figure）は特定されている。

1. コンポジション三角形→水色 コンポジション制約
2. 直積三角形（一辺は点線）→赤 直積制約（特殊なファイバー積制約）
3. ファイバー積四角形→赤 ファイバー積制約

その一部が塗られた有向グラフをスケッチと呼ぶ。スケッチにはマーカーがあってもよい。

1. 不変マーカー： ドメインノードを示す→チェックマーク
2. キーマーカー： スーパーキー＝同時単射性（joint injectivity）→矢印に棒
3. gtマーカー： 単射性と全射性を表す

マーカーと塗り（ペインティング）で修飾された有向グラフがスケッチ。