複階層的圏と圏の大域的構造
複階層的圏または多重階層的圏とは、圏Cといくつかの部分圏 H1, ..., Hn の組で、
- 各Hi（i = 1, ..., n）はやせた広い圏である。
これだけ。
事例は、集合の包含関係（束）と構造的な親子関係（ツリー）を持つ圏。兄弟関係も必要かもしれない。これらの部分圏に名前を付けて
- Includes
- Parent
- Elder
- Younger
とする。射がそれぞれの部分圏に属するとき、小文字始まりのラベルを付けることにする。
- includes : A→B
- parent : A→B
- elder : A→B
- younger : A→B
これにより、ラベルの数を極端に減らすことができるし、ラベルの意味の共通性を同一名で表すことができる。また、射が特定の部分圏に入ることを矢印記号や辺の色などでグラフィカルに識別することができる。
parentのようなツリー状階層の場合、射を書かずに、親ノードをクラスターで表現することができる。elder/younger対はどちらか片方を書けば部分写像の概可逆性で推論できる。
この複階層的圏を使うと、代数／余代数の別な（より扱いやすい）定式化ができる。例えば、兄弟に順序が付いたツリー構造を表す指標を次のように決める。
- parent
- next
- prev
関係圏をアンビエント圏に使うなら次も入れていい。
- children
このような名前を、それぞれがやせた広い圏を定義すると考える。対象ごとに、各やせた圏に所属する射を寄せ集めると、その対象のツリー構造ができ上がる。ツリー構造は圏全体で大域的に定義されていて、対象に関して局所化して見ることになる。局所化する前は複階層的圏なのだ。
これは、射の名前の取り扱いを劇的に簡単にする。φがやせた圏の名前だとして、A.φ と φ>B のような書き方で、射を（存在すれば）特定できる。こりゃすごくいい。
