パリク圏とパリク関手

パリク・ベクトルを一般化して、正規集合に関するパリクの定理（本来は文脈自由文法に関する定理）を示したいものだ。

まず、Pow(Nⁿ)に、足し算∪と掛け算+で半環構造（cup-plus代数とでも呼ぶべきか）を入れる。クリーネ級数は収束するから、クリーネ連続半環（クリーネ級数が収束する半環）となる。クリーネ・スターが定義できて、これは可換クリーネ代数だとみなせる。この代数系をn-パリク半環（n-パリク代数）と呼ぼう。

nを固定してのn-パリク半環、またはすべてのnを同時に考えてパリク半環達はどんな圏論的構造を持つのだろう。それが定式化できればパリク圏と呼んでよいだろう。パリク・ベクトルをなんらかの関手とみなして、パリク関手と呼ぶ。パリク関手は、トレース付きモノイド圏、またはトレース付きモノイド圏の族（インスティチューション、インデックス圏）からパリク圏への関手となるべき。

パリク圏とパリク関手の基本性質からパリクの定理が自動的に出るようにならないだろうか。