一般的なIO代数

集合圏かCPOの圏で考えるとして（デカルト閉圏ならいい）、ωは自然数（順序付き）か似たようなモンだとして、Aは勝手な対象。

• in:A^ω→A
• out:A→A^ω

とすると、ストリームIOの雰囲気がする。inとoutの間には通常はなにかしら関係があるが、特に関係は考えないとする。さらに、ωをV（ただし固定）にすると、

• in:A^V→A
• out:A→A^V

というオペレーションの組が一般的なIO代数と呼ばれるもの。一般的過ぎる気もするが。

F(A) = A^V とすると、inはF-代数、outはF-余代数を定義するので、IO代数は、両代数となる。in+out:F(A)+A →A+F(A)として定義できる。G(A) = F(A)+A, H(A) = A+F(A) とすると、個別のinoutは、G(A)→H(A)なので、(G, H)-両代数。(G, H)-両代数の圏がIO代数の圏。